統計學和數理統計分析

美國著名的小說家Mark Twain（馬克吐溫）在1907年的自傳裏，引用了曾任英國首相的Benjamin Disraeli的一段話：

There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics.

由於Mark Twain的高知名度，這句話因他說了之後，便廣為流傳了。

大家都學過多年數學，對於為什麼要學數學，原因之一當然是生活上，及專業上，會用到一些數學，也就是數學可視為一種工具。而一個數學精通的人，則往往具有邏輯性強，計算精准等特徵。那麼統計學呢？

統計學現在一方面越來越重要，人們在做決策時，非有統計不可，把統計當護身符。同時也有像Mark Twain這樣的對統計嗤之以鼻。即使在學術界，不少人也都認為統計不過就是數學的一部分而已；但更多的統計學家則認為並一再強調，統計與數學是完全不一樣的。

我們可能比較容易感受到什麼是具有經濟頭腦，什麼是具有文學細胞，以及什麼是具有音樂素養。那什麼是具有統計頭腦？統計細胞？以及統計素養呢？就不易講得明白了。這篇文章就試圖通過闡釋統計思維的方式，來談談上述幾個問題。

1、正確理解統計思維的重要性

讓我們先來看一個例子。1985年11月，一位美國學者Gary Taylor在英國牛津大學的一圖書館找到了一首詩（姑且稱為“Taylor詩”好了），引發了一場英美研究莎士比亞文學作品的學者們的口水大戰，爭論的焦點就是此詩是否為莎士比亞所作。

不少專家認為這首“Taylor詩”，不論是用字遣詞，還是韻味風格，都迥異於莎士比亞其他作品。論戰兩個月後，1986年1月24日出版的Science 雜誌刊登了一篇“莎士比亞的新詩：向統計學致敬”（Shakespeare's new poem: an ode to statistics）的文章，介紹兩位統計學者Efron與Thisted如何以統計方法鑒定這首“Taylor詩”是否為莎士比亞所作的過程。

Efron與Thisted的方法是這樣的：每個人都有其各自的用字習慣，特別是對於生僻字，每個作者使用的習慣差異可能更大。在莎士比亞已知的總作品中，共有884,647個字，其中有31,534個相異字。這些相異字中，有14,376個字從頭到尾只出現過1次，有4,343個字只出現2次。出現幾次的字都被計算出來。那些在總作品中, 出現頻率較低的，就是莎士比亞的生僻字。依據這些資料，假設這首共429個字的“Taylor詩”為莎士比亞所寫，他們估計會有幾個字，在總作品中從未出現（也就是新字），只出現1次，2次, ……，一直到曾出現99次，都給出估計值。實際情況與估計非常吻合。

這樣做還不夠，會不會當時代的詩人用字習慣都差不多？於是，兩人又找了三位大致與莎士比亞同時代的詩人，各取其一首詩，及另取四首莎士比亞的詩，與這首泰勒詩做比較。經過3種統計檢定發現對前三首，若假設為莎士比亞的作品，罕用字出現次數之實際值與估計值皆不吻合。而所挑選的四首莎士比亞的詩，雖偶有不合，但總的來說是可接受的。Efron及Thisted說，他們的分析並無法完全證明“Taylor詩”為莎士比亞所寫，但在罕用字之使用情況，如此與莎士比亞的總作品吻合，確實令人驚訝。

一場文學上的爭論，經統計學家發聲後迅速平息，難怪要向統計學致敬了。運用統計方法來做決策，反映的是一種客觀及合理的思維。與其主觀的爭論風格相同否，還不如以客觀的統計方法來判定。但如何才算已經夠客觀？除了只檢驗“Taylor詩”外，Efron和Thisted還拿了幾位與莎士比亞同時代的詩人來比較，這樣做就更保險了。免得萬一莎士比亞那個時期的詩人，有如時尚般，生僻字之使用習慣類似，則此檢定就沒有什麼參考價值了。

統計正如我們的思維，客觀至上，否則便是自欺欺人。反之我們的思維若是統計式的，便是極客觀的。

英國劍橋大學教授蘇斯倫德（William J. Sutherland）等2013年在《自然》雜誌上發表了一篇名為“解讀科學觀點時應該知道的20個事實”的文章，閱後發現其中提到的科學事實都與統計思維有關。

現代科學研究中統計學是最重要的工具之一，英國著名生物學家高爾頓曾說過：“統計學具有處理複雜問題的非凡能力，當科學的探索者在前進的過程中荊棘載途時，唯有統計學可以幫助他們打開一條通道。”運用科學研究結論輔助現實決策時，須具備良好的統計思維，才能對科學結論保持清晰認識，更準確地解讀結論背後的科學真相。

大資料時代從資訊不足轉變為資訊氾濫，資訊匱乏的危機讓位給資訊甄別的困難，如此背景下科學方法成為每個人的必修課。在日益依賴資料的今天，樹立正確的統計思維，才能有效地開展資料處理與分析。當今世界正步入資訊爆炸的大資料時代，統計越顯重要，驗證了英國科幻小說作家H·G·威爾斯的預言：“統計思維總有一天會像讀寫一樣，成為一個有效率公民的必備能力。”

統計學被廣泛應用於各門學科之中，從自然科學到人文社會科學，甚至是工商業及政府的情報決策。作為認識自然、社會的工具和手段，統計研究客觀現象的數量關係，幫助政策制定者理解科研證據對決策的作用。正如現代統計學的奠基人費歇爾所講：“給20世紀帶來了人類進步的獨特方面是統計學，統計學的普遍存在以及在開拓新知識領域方面的應用已遠遠超過20世紀內的任何技術或科學發明。”

馬寅初曾說：“學者不能離開統計而究學，實業家不能離開統計而執業，政治家不能離開統計而施政。”統計思維是在獲取資料、從資料中提取資訊、論證結論可靠性等過程中表現出來的一種思維模式，對於人類提高認知起到巨大的作用。無論是解開自然奧秘的科學調查，或是考查早期匿名文學作品的作者、給出考古文物的時間年表，或是解決法庭爭端以及做出最佳決策等，統計思維都起到不可替代的重要作用。

統計學是一種由經驗到理性的認識，是一種運用偶然發現規律的科學。它不只是一種方法或技術，還含有世界觀的成分——看待世界上萬千事物的一種方法，人們常講某事從統計角度看如何，指的就是這個意思。統計思維的養成不但需要學習一些具體的指示，還要能夠從發展的眼光，把這些指示連綴成一個有機的、清晰的圖景，獲得一種歷史的厚重感。正如德國的斯勒茲曾講道“統計是動態的歷史，歷史是靜態的統計。”

從統計學的角度看，人們從經驗或實驗中所獲取的知識是含有不確定性的，統計關注的是這種知識當中所含不確定性的度量問題，一旦能得到不確定性的量度，人們的知識就得到擴充，對世界的認知就朝前跨越，這個過程在人類知識積累的進程中不斷重複。難怪有人總結道：

在終極的分析中，一切知識都是歷史：我們現在擁有的知識都是對過去發現的事物的歸納總結以及衍生；

在抽象的意義下，一切科學都是數學：所有的知識都可以歸納為對數學的推理和運算；

在理性的基礎上，所有的判斷都源於統計學：所有的判斷都是對過去的規律總結，也就是說，根據過往的資料簡歷概率模型，判斷未來的趨勢。

2、什麼是統計思維及其常見方式

首先我們來看看，統計學究竟在做些什麼？

從隨機性中尋找規律性，是統計的基本思想，也是統計的魅力所在。

簡單來說，統計學裏所表達的兩個核心理念就是：

允許誤差下的概率保證；

允許誤差下的統計推斷。

我們在中學裏面所學到的知識探討的多半是必然性的問題。當它說1就是1，不會有任何誤差。而一個命題一旦被證明是對的，問題就會一直對下去，不會有例外，除非你能找出證明的漏洞。而在統計學裏面，則是處處存在隨機性問題。它允許有誤差，沒有誤差反令人懷疑其中有假。統計也會對一個問題拍胸脯保證，但它的保證都是基於概率形式的。而且所能保證的概率，不但不是百分之百，而且還附有誤差。統計裏則處處是“說不準”。例如，宣稱某飲料的容量有百分之九十五的概率介於425毫升至431毫升之間，就是一典型的統計上的保證。統計代表了一種我們看待這個世界的方式。

在隨機的世界中，真相往往難以大白，一切都是假設，就看你願意接受哪一個。而接受的含義，就如同在婚禮上，當新娘點頭說“我願意”，並不表示這位新郎就真正是最適合她的。只不過是“目前她願意接受”。同樣地，在統計裏接受不表示為真，拒絕也不表示為偽。統計學家的判定，都會給出誤差，是一種允許誤差下的統計推斷。

概率和誤差，構成了統計思維的兩大支柱。併發展出統計學裏幾乎所著的關鍵要點。

統計學裏的方法，和人們的思維方式有一定的對應關係。下面我們就來列舉下統計學中常見的思維方式。

（1）要有善於利用資料的思維

“ Data! Data!Data! ” he cried impatiently. “ I can’t make bricks without clay. ” 這是著名小說中福爾摩斯（Sherlock Holmes）說過的一句話。

沒有規矩不成方圓，沒有黏土不成磚牆，沒有資料則無法決策。

福爾摩斯可以依命案現場的一些蛛絲馬跡，推測凶嫌可能慣用左手，或可能經過一片果園。算命看相者，所仰賴的也是資料。收集很多不同的面相及八字等的命運，當“閱人多矣”後，自然容易依據人的面相等，分析其前程。那些善於看透人性者，不也是閱人多矣嗎？做決策要有資料，每一項資料，都可能是有用的資訊。統計學家的本事要能發揮，就得善用資訊。因此對於統計學家，資料有如老鼠所愛之大米。

（2）要有善於捕捉不確定性的思維

宇宙的運轉，有必然性與隨機性交錯著進行。例如，我們知道哈雷慧星每76年接近地球一次（這是必然性）。雖然我們能知道76年後的事，但明天會不會下雨？就不是那麼確定了（隨機性）。又如，將手上的硬幣鬆開，在中學物理課程裏學過，如果忽略空氣阻力，則在高度固定下，硬幣落地所需時間，是個定值。但落地後那一面朝上？就無法預知了。這就是不確定性。

人們對未來，知道大致會發生哪些事，以及何發生，但又不能完全掌握。在隨機世界裏，必然性使人們願意事先好好準備，而不確定性則使人們對未來，充滿著盼望或者恐懼。光有必然性的世界，亳無變化，則對未來缺乏盼望，會讓人們喪失努力的動力。而光有隨機性的世界，只靠運氣，將讓人失去積極認真向上的決心。三分天註定，五分靠打拼，兩分靠運氣。這是造物者偉大的設計。

由於不確定性的存在，我們所能做的，就是要瞭解它，很多時候還要設法減少這些不確定性。因此，我們的先輩針對隨機的世界，總結了一些所謂的法則來應對這樣的不確定性。例如，大數法則（law of large numbers），另一個重要的隨機法則就是中心極限定理（central limit theorem）。

在統計裏做預測和估計，本質上是在做以偏概全的事。雖偏卻能概全，這是統計學家的本領。

（3）要有相信概率的思維

數學家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）曾說過“大部分生活中最重要的疑問, 都只是概率的問題”。在隨機世界裏, 概率一詞大家琅琅上口, 但真正理解概率含義的人卻不多。

概率的意義究竟是什麼呢？在諸如投擲骰子, 或抽籤時, 我們通常以“相同的可能性”來解釋概率。即骰子的6個面, 每個面出現機率皆認為是6分之1。該解釋在日常生活中還是比較適用的。當沒有其他資訊時，常假設每一可能的結果發生之機率都一樣。

第二種方式，是以相對頻率來解釋概率。例如，如果一位職業籃球選手，過去的投籃命中率是0.527，表示該選手在接下來投籃的時候，命中率大抵就是0.527。這種常見的對概率的解釋也算比較客觀的。其背後之理論基礎就是大數法則。針對的現象, 則是可以重複觀測的。

最後一種方式是主觀概率。例如，世界盃足球賽巴西隊最後奪冠的概率，追上某一女孩的概率等等就是主觀概率，這些事件無法重複觀測，是一次性的。

上述三種對概率的解釋有時會交錯使用，或彼此相驗證。

還有小概率事件。原先你以為不可能的事情，只要觀測次數夠多, 就一定會發生。有人稱此為law of truly large numbers。當小機率遇上大樣本，其發生就不會太令人驚訝了。在隨機的世界裏，要相信概率，而不是要挑戰概率。

（4）要有合理估計的思維

從前有一個賣油條的小孩，他一向把賣得的錢都放在盛油條的籃子裏。某日由於尿急，於是把籃子放在一塊大石頭上，然後去廁所了。過一會兒回來，晴天霹靂，籃子裏的錢全都不見了。他哭著跑去告訴縣官。縣官聽了後, 叫人把石頭抬來審問。雖一再恫嚇, 石頭一句話也不說。縣官氣了，叫人拿棍子來打石頭。只是即使打到棍子斷了，石頭仍不說話。一旁看熱鬧的人都笑了起來。縣官更生氣，罰圍觀者每人拿兩個銅錢，扔進一個盛滿水的盆子裏。突然，縣官指著一個人說“偷錢的人就是你。”那人大呼冤枉，眾人也不解。縣官解釋說：“那小孩是賣油條的，他的錢上都沾著油。別人的錢扔進水裏都沒有油浮上來，只有這個人扔錢進水後，有油浮上來, 可見錢是這人偷的。”那人俯首認罪，眾人皆心服。

這種縣官判案式的智慧，與教室玻璃破了，老師先從平常最調皮的學生問起的原理類似：當從幾個可能性裏做挑選時，優先挑最可能的情況。會不會出現錯誤？當然也是會的。憑口袋裏的錢有油，就認定他偷了賣油條小孩的錢？如果有人收到賣油條者找的錢，不也就沾著油嗎？

但是，這種人們在做選擇時常採用的方法卻又是有效的。從統計思維的角度看，就是著名的最大概似法（method of maximum likelihood），該方法就是依據發生概率最大者來確定估計值的。這個方法有很多好的性質，而且常常能得到不錯的估計量。

美國NBA 職業籃球賽，各球隊互有勝負，很難說那一球隊才是最強。在常規比賽裏，每支球隊要賽82場，各區勝率最高的8隊可打季後賽。所謂勝率，就是贏的場次除以比賽場次。為了維持比賽之可看性，NBA有一套選秀機制，使各隊實力不會很懸殊。有時全季排名第一者，勝率還不到6成。以一個球季多場比賽後的勝率，決定誰是今年較強者，得以參加季後賽，是職業球賽經常采的作法。再例如，估計某項手術的成功概率，估計生三胞胎的的概率等，也是常採用這種以相對頻率來估計的想法。

隨著統計學的發展，種估計方法百各家爭鳴。這些有道理的估計方法，往往有各自的優點，並且適用於某些場合，不會有哪種方法永遠是最佳的。例如，有時我們覺得給個範圍能更清楚的描述，這就是著名的置信區間（Confidence interval）估計方法。

（5）要有疑罪從無的假設檢驗思維

人們常求公平或公正。以簡單的兩人分蛋糕為例,，若雙方皆不願拿得比較小，那有什麼好方法來分？你切我選應該是一個令兩人都不覺得吃虧的辦法。最好是連由誰切，都以抽籤的方式。以免選方感覺他所得大於一半，而切方感覺他所得只有一半。

而疑罪從無推定原則便類似你切我選，屬於能令檢察官與被告，皆感到較公正的一種判決法。

1933年，波蘭人Neyman及英國人Pearson給出著名的Neyman-Pearson引理，奠定了統計學裏的無罪推定原則，這就是假設檢驗（Hypothesis testing）。

英文中的假設hypothesis,是由古希臘文hypotithenai 演變而來, 科學上的假說（或稱假設學說）也是這個字。在數學裏, 我們常在證明一命題是真或偽。但在隨機世界中，很多現象都只能視為假設，就看更願意接受哪一個。接受不表示就完全相信該假設為真，拒絕也不表該假設為偽。統計裏的假設，經檢定後，不論接受那一個假設，都無法讓該假設成為定律，假設永遠是假設。

3、結束語

陳希孺先生在其《數理統計學簡史》的序中說道：“統計學不止是一種方法或技術，還含有世界觀的成分——它是看待世界上萬事萬物的一種方法。我們常講某事從統計觀點看如何如何，指的就是這個意思。但統計思想也有一個發展過程。因此統計思想（或觀點）的養成，不單需要學習一些具體的知識，還有能夠從發展的眼光，把這些知識連綴成一個有機的、清晰的途徑，獲得一種歷史的厚重感。”

建立起統計思維不是一朝一夕之功，要說有什麼訣竅，那就是學習、實踐，再學習、再實踐，持續學習、持續實踐。