論文中常用數理統計方法的正確使用問題

在環境科學研究中，經常會涉及到對隨機變數大小、離散及分佈特徵描述以及對2個或多個隨機變數之間關係比較的問題。而對隨機變數及隨機變數之間的關係進行定量描述的數學工具就是數理統計。由於能否正確使用各種數理統計方法關係到能否得出客觀和可信的結論，對環境科學領域學術論文中常用數理統計方法（主要是相關分析和回歸分析）的正確使用問題進行了初步分析，希望能對人們有所幫助。

1 統計軟體的選擇

在進行統計分析時，儘管作者可以自行編寫計算程式，但在統計軟體很普及的今天，這樣做是毫無必要的。因此，出於對工作效率以及對演算法的可靠性、通用性和可比性的考慮，多數科技期刊都要求作者採用專門的數理統計軟體進行統計分析。我們在處理稿件時經常發現的問題是，作者未使用專門的數理統計軟體，而採用Excel這樣的試算表軟體進行統計分析。由於試算表軟體提供的統計分析功能十分有限，很難滿足實際需要，除非比較簡單的分析，我們不主張作者採用這樣的軟體。目前，國際上已開發出的專門用於統計分析的商業軟體很多，比較著名有SPSS(Statistical Package for Social Sciences)、SAS(Statistical Analysis System)、BMDP和STATISTICA等。其中，SPSS是專門為社會科學領域的研究者設計的（但是，此軟體在自然科學領域也得到廣泛應用）；BMDP是專門為生物學和醫學領域研究者編制的統計軟體。目前，國際學術界有一條不成文的約定：凡是用SPSS和SAS軟體進行統計分析所獲得的結果，在國際學術交流中不必說明具體演算法。由此可見，SPSS和SAS軟體已被各領域研究者普遍認可。我們建議《環境科學學報》的作者們在進行統計分析時儘量使用這2個專門的統計軟體。目前，有關這2個軟體的使用教程在書店中可很容易地買到。

2 均值的計算

在處理實驗資料或採樣資料時，經常會遇到對相同採樣或相同實驗條件下同一隨機變數的多個不同取值進行統計處理的問題。此時，多數作者會不假思索地直接給出算術平均值和標準差。顯然，這種做法是不嚴謹的。在數理統計學中，作為描述隨機變數總體大小特徵的統計量有算術平均值、幾何平均值和中位數等。何時用算術平均值？何時用幾何平均值？以及何時用中位數？這不能由研究者根據主觀意願隨意確定，而要根據隨機變數的分佈特徵確定。反映隨機變數總體大小特徵的統計量是數學期望，而在隨機變數的分佈服從正態分佈時，其總體的數學期望就是其算術平均值。此時，可用樣本的算術平均值描述隨機變數的大小特徵。如果所研究的隨機變數不服從正態分佈，則算術平均值不能準確反映該變數的大小特徵。在這種情況下，可通過假設檢驗來判斷隨機變數是否服從對數正態分佈。如果服從對數正態分佈，則可用幾何平均值描述該隨機變數總體的大小。此時，就可以計算變數的幾何平均值。如果隨機變數既不服從正態分佈也不服從對數正態分佈，則按現有的數理統計學知識，尚無合適的統計量描述該變數的大小特徵。退而求其次，此時可用中位數來描述變數的大小特徵。

3 相關分析中相關係數的選擇

在相關分析中，作者們常犯的錯誤是簡單地計算Pearson 積矩相關係數，而且既不給出正態分佈檢驗結果，也往往不明確指出所計算的相關係數就是Pearson 積矩相關係數。常用的相關係數除有Pearson 積矩相關係數外，還有Spearman秩相關係數和Kendall秩相關係數等。其中，Pearson 積矩相關係數可用於描述2個隨機變數的線性相關程度（相應的相關分析方法稱為“參數相關分析”，該方法的檢驗功效高，檢驗結果明確）；Spearman或Kendall秩相關係數用來判斷兩個隨機變數在二維和多維空間中是否具有某種共變趨勢，而不考慮其變化的幅度（相應的相關分析稱為“非參數相關分析” ，該方法的檢驗功效較參數方法稍差，檢驗結果也不如參數方法明確）。各種成熟的統計軟體如SPSS、SAS等均提供了這些相關係數的計算模組。在相關分析中，計算各種相關係數是有前提的。對於二元相關分析，如果2個隨機變數服從二元正態分佈，或2個隨機變數經資料變換後服從二元正態分佈，則可以用Pearson 積矩相關係數描述這2個隨機變數間的相關關係（此時描述的是線性相關關係），而不宜選用功效較低的Spearman或Kendall秩相關係數。如果樣本資料或其變換值不服從正態分佈，則計算Pearson 積矩相關係數就毫無意義。退而求其次，此時只能計算Spearman或Kendall秩相關係數（儘管這樣做會導致檢驗功效的降低）。因此在報告相關分析結果時，還應提供正態分佈檢驗結果，以證明計算所選擇的相關係數是妥當的。需要指出的是，由於Spearman或Kendall秩相關係數是基於順序變數（秩）設計的相關係數，因此，如果所採集的資料不是確定的數值而僅僅是秩，則使用Spearman或Kendall秩相關係數進行非參數相關分析就成為唯一的選擇。

4相關分析與回歸分析的區別

相關分析和回歸分析是極為常用的2種數理統計方法，在環境科學及其它科學研究領域有著廣泛的用途。然而，由於這2種數理統計方法在計算方面存在很多相似之處，且在一些數理統計教科書中沒有系統闡明這2種數理統計方法的內在差別，從而使一些研究者不能嚴格區分相關分析與回歸分析。最常見的錯誤是，用回歸分析的結果解釋相關性問題。例如，作者將“回歸直線（曲線）圖”稱為“相關性圖”或“相關關係圖”；將回歸直線的R2(擬合度，或稱“可決係數”)錯誤地稱為“相關係數”或“相關係數的平方”；根據回歸分析的結果宣稱2個變數之間存在正的或負的相關關係。

相關分析與回歸分析均為研究2個或多個隨機變數間關聯性的方法，但2種數理統計方法存在本質的差別，即它們用於不同的研究目的。相關分析的目的在於檢驗兩個隨機變數的共變趨勢（即共同變化的程度），回歸分析的目的則在於試圖用引數來預測因變數的值。在相關分析中，兩個變數必須同時都是隨機變數，如果其中的一個變數不是隨機變數，就不能進行相關分析。這是相關分析方法本身所決定的。對於回歸分析，其中的因變數肯定為隨機變數（這是回歸分析方法本身所決定的），而引數則可以是普通變數（規範的叫法是“固定變數”，有確定的取值）也可以是隨機變數。如果引數是普通變數，採用的回歸方法就是最為常用的“最小二乘法”，即模型Ⅰ回歸分析；如果引數是隨機變數，所採用的回歸方法與計算者的目的有關---在以預測為目的的情況下，仍採用“最小二乘法”，在以估值為目的的情況下須使用相對嚴謹的“主軸法”、“約化主軸法”或“Bartlett法”，即模型Ⅱ回歸分析。顯然，對於回歸分析，如果是模型Ⅰ回歸分析，就根本不可能回答變數的“相關性”問題，因為普通變數與隨機變數之間不存在“相關性”這一概念（問題在於，大多數的回歸分析都是模型Ⅰ回歸分析！）。此時，即使作者想描述2個變數間的“共變趨勢”而改用相關分析，也會因相關分析的前提不存在而使分析結果毫無意義。如果是模型Ⅱ回歸分析，鑒於兩個隨機變數客觀上存在“相關性”問題，但因回歸分析方法本身不能提供針對引數和因變數之間相關關係的準確的檢驗手段，因此，若以預測為目的，最好不提“相關性”問題；若以探索兩者的“共變趨勢”為目的，建議作者改用相關分析。

需要特別指出的是，回歸分析中的R2在數學上恰好是Pearson積矩相關係數r的平方。因此，這極易使作者們錯誤地理解R2的含義，認為R2就是 “相關係數”或“相關係數的平方”。問題在於，對於引數是普通變數（即其取值具有確定性）、因變數為隨機變數的模型Ⅰ回歸分析，2個變數之間的“相關性”概念根本不存在，又何談“相關係數”呢？（說明：二元回歸可決係數符號用小寫r2）

5 顯著性水準

相關分析及正態分佈檢驗等均為基於假設檢驗的統計分析方法。而顯著性水準的確定是假設檢驗中至關重要的問題。顯著性水準反映了拒絕某一原假設時所犯錯誤的可能性。通常，拒絕客觀上正確的原假設的幾率用α值表示，該值被稱為假設檢驗的顯著性水準（Significant level）。α值一般在進行假設檢驗前由研究者根據需要確定，常用的取值是0.05或0.01。對於前者，相當於在原假設事實上正確的情況下，研究者接受這一假設的可能性為95%；對於後者，則研究者接受事實上正確的原假設的可能性為99%。顯然，降低α值可以減少拒絕原假設的可能性。因此，在報告統計分析結果時，必須給出α值。在進行統計分析時，各種統計軟體通常在給出檢驗統計量的同時，也給出該檢驗統計量取值的相伴概率（即某特定取值及更極端可能值出現的準確概率，用p表示）。p值是否小於事先確定的α值，是接受或拒絕原假設的依據。如果p值小於事先已確定的α值，就意味著原假設成立的可能性很小，因而可以拒絕原假設。相反，如果p值大於事先已確定的α值，就意味著原假設成立的可能性較大，因而不能拒絕原假設。在電腦軟體尚不普及的情況下，計算檢驗統計量並與特定顯著性水準的臨界值比較是簡潔的方法，但在電腦軟體很普及的今天，建議直接使用p值進行統計推斷，並在結果中給出p，以表達精確錯誤率。

以二元相關分析為例，相關分析中的原假設是“相關係數為零”（即2個隨機變數間不存在顯著的相關關係）。如果計算出的檢驗統計量的相伴概率（p值）低於事先給定α值（如0.05），就可以認為“相關係數為零”的可能性很低， 2個隨機變數之間存在明顯的相關關係。與相關分析不同，在正態分佈檢驗時，原假設是“樣本資料來自服從正態分佈的總體”。此時，如果計算出的檢驗統計量的相伴概率（p值）低於事先給定α值（如0.05），則表明資料不服從正態分佈。

在本刊來稿中，作者在描述相關分析結果時常有的失誤是僅給出相關係數的值，而不給出顯著性水準。這就無法判斷2個隨機變數間的相關性是否顯著。此外，作者在論文中常常用“顯著相關”和“極顯著相關”來描述相關分析結果，即認為p值小於0.05就是顯著相關關係（或顯著相關），小於0.01就是極顯著相關關係（或極顯著相關）。顯然，這也是不規範的。在假設檢驗中，只有 “顯著”和 “不顯著”，沒有“極顯著”這樣的提法（令人遺憾的是，有些統計軟體教程中也有此種提法）。只要計算出的檢驗統計量的相伴概率（p值）低於事先確定的α值，就可以認為檢驗結果“顯著”（相關分析的原假設是“相關係數為零”，故此處的“顯著”實際意味著“相關係數不為零”，或說“2個隨機變數間有顯著的相關關係”）；同樣，只要計算出的檢驗統計量的相伴概率（p值）高於事先確定的α值，就可以認為檢驗結果“不顯著”。因此，不能認為p值小於0.05就是“顯著相關”, p值小於0.01就是“極顯著相關”。換言之，在進行相關分析時，不能同時使用0.05和0.01這2個顯著性水準來決定是否拒絕原假設，只能使用其中的1個。規範的做法是指出在什麼α值（0.01或0.05）下是否顯著相關並在括弧中給出p值。需要指出的是，有少數作者在報告二元相關分析結果時，針對p值大於0.05的情形宣稱“2個隨機變數有相關性但不顯著”。這種說法是自相矛盾的。“有相關性”就意味著“檢驗結果顯著”，“檢驗結果不顯著”就意味著 “不存在相關性”。在二元相關分析中，如果事先確定的α值為0.05，則只要p值大於0.05，2個隨機變數之間就不存在相關關係。反之， 如果2個隨機變數間存在相關關係，則p值應小於0.05。