摩爾定律揭秘
楊義先
北京郵電大學資訊安全中心主任
公共大資料國家重點實驗室主任
摘要：本文意外地發現：著名的摩爾定律，其實就是200多年前的馬爾薩斯定律，而且，類似的規律在現實社會中幾乎隨處可見。如今大資料時代的任何人，哪怕只有初中數學水準，他都可借助僅僅三個採樣值，就能發現某種類似的定律。而且，這種思路普及後，對互聯網世界的管理和預測，將發揮重要作用。本文其實是作者的專著《駭客管理學》的第4章。
（一）摩爾定律的實質
從本書（即《駭客管理學》）第2章已經知道，人造系統的運行規律，均可由維納定律描述；即，由各種“回饋、微調、迭代”的賽博鏈組成。而所有這些人造賽博鏈中，整體上“回饋最及時、微調最精准、迭代最迅速”的系統，可能要算互聯網了。因此，依直觀想像，網路世界應該因其快速變換，而顯得更加“雜亂無章”。但是，事實卻剛好相反，比如，在以互聯網為代表的賽博世界裏，就有摩爾定律、吉爾德定律等著名的、奇怪的、充分展示了賽博系統不變性的重要定律。這些定律有助於準確預測發展趨勢，從而使得相關的賽博管理非常直觀、可行。那麼，這些定律到底是偶然碰巧呢，還是有更深層次的奧秘？下面將從賽博管理學的角度，來認真探討這個問題，並給出精細的意外結果，然後進行推廣。
本小節聚焦於最早的、也是最著名的、體現賽博世界不變性的所謂“摩爾定律”；它由英代爾公司（Intel）創始人之一戈登·摩爾，於1965年提出。
摩爾定律的常見描述是：當價格不變時，積體電路上可容納的元器件的數目，約每隔18-24個月便會增加一倍，性能也將提升一倍。換言之，每一美元所能買到的電腦性能，將每隔18-24個月翻兩倍。微處理器的性能每隔18個月提高一倍，或價格下降一半。
該定律自提出之日起半個多世紀以來，其正確性已被客觀資料持續證明了；但是，該定律是如何產生的呢？根據其歷史演變的多方面證據，該定律很可能是摩爾先生突發靈感，猜出來的（預先提醒：後面我們將嚴格證明，其實摩爾定律不用去猜；早在200多年前的1798年，當馬爾薩斯提出人口論時，“摩爾定律”的原理就已經誕生了）。因為，摩爾先生最早在1965年公開發表的論文中，只猜測了“半導體晶片上集成的電晶體和電阻數量將每年增加一倍”；1975年，摩爾又發表了另一篇論文，將其猜測由原來的“…每年增加一倍…”更新為“每兩年增加一倍”；後來，業界又普遍流行為“每18個月增加一倍”；再後來又成了“每24個月增加一倍”；直到2010年，又有人再次將時長更新為“約每36個月翻一倍”等等。隨著摩爾定律的名聲越來越大，許多人又“照貓畫虎”，猜出了摩爾定律的多種變形，比如，若用相同面積的晶圓來生產同樣規格的IC，那麼，每隔一年半，IC產出量就可增加一倍；換算為成本，即，每隔一年半，成本可降低五成，平均每年成本可降低三成多。等。
從管理角度來看，摩爾定律及其變形顯然非常有用，比如，它能讓積體電路產業鏈的上下游眾多主流廠商（包括但不限於半導體原材料商、晶片設計製造商、電腦廠商等，甚至IT領域的幾乎所有主流廠商），比較準確地預測自己產品的下游市場空間和利潤空間，把握上游的進貨成本等，從而使得看似雜亂無章的網路世界變得有規律可尋。當然，摩爾定律並非數學、物理定律，而是對發展趨勢的一種分析預測，因此，無論是它的文字表述還是定量計算，對它的誤差都應當容許一定的寬裕度。作為一種簡單評估半導體技術進展的經驗法則，摩爾定律的重要意義在於，它發現：長期而言，IC制程技術是以直線的方式向前擴展，使得IC產品能持續降低成本，提升性能，增加功能。
摩爾定律之所以如此著名，原因可能有兩個：其一，它非常有用，這已經不用再去論證了；其二，它非常出乎意料，甚至讓人感到不可思議。但是，本章接下來的理論分析將再次讓讀者意外，因為，過去讓大家意外的摩爾定律，其實一點也不意外！它其實是任何賽博系統的，最簡單、最粗糙的估計，甚至在200多年前就已經被馬爾薩斯發現了，那時這位人口學家指出“大不列顛人口翻一番的時間，極有可能不超過25年”。為了說明這一點，我們先用數學公式，把摩爾定律重新描述如下：
第1步，針對某個賽博系統（比如，摩爾定律鎖定的是全球的互聯網產業鏈，馬爾薩斯鎖定的是大不列顛的人口系統），選定某個關注的指標（比如，馬爾薩斯關注的是大不列顛的人口總數；摩爾定律關注的指標是積體電路上可容納的元器件的數目、每一美元所能買到的電腦性能、微處理器的性能、IC產出量、晶片上的電晶體數量、PC機的內記憶體容量、軟體的規模和複雜性等）；
第2步，按照時間的等間隔對關注的指標進行採樣（比如，摩爾定律的間隔為1年、18個月、24個月、或36個月等，馬爾薩斯的間隔是25年），並將第i次採樣的值記為bi,i=1,2,3,…。
第3步，那麼，在一定的時間範圍內，比值(bi+1-bi)/(bi-bi-1)就是與i無關的常數a，即，(bi+1-bi)/(bi-bi-1)=a。比如，在摩爾定律和馬爾薩斯定律中，a都約等於2。
根據上面三個步驟的描述，摩爾定律與200多年前的馬爾薩斯定律，顯然是一回事，只不過採樣間隔不同而已；這是因為互聯網這個賽博系統的迭代更快，而人類的自然迭代卻很慢，兩代人之間至少相差十餘年，如今父子的年齡差更可能高達30年左右，所以，人口自然增長的採樣間隔也就該更長。“摩爾定律與馬爾薩斯定律其實是一回事”的另一個原因在於：無論晶片上的電晶體數量，還是某國的人口數量，其實都可看成是“人造物”，只不過前者是用“工程法”造出來的，而後者是用“生物法”造出來的而已。
接下來我們將嚴格證明：像摩爾定律這樣的東西，在任何賽博系統中，都隨處可見。
對任意常數a，由遞迴關係(bi+1-bi)/(bi-bi-1)=a所描述的賽博系統，可以等價地寫為：b0=a0, bi=aia0, i=1,2,3,…。又可以等價地寫為：
J(n+1)=aJ(n), n=1,2,3,…, J(0)=a0。
在連續情況下，該賽博系統可用微分方式等價地表示為：
dQ/dt=bQ, Q(t)=Q0ebt, t>0。
另一方面，考慮任何一個賽博系統的任何一個指標，比如Q(t)。假定在t=0的起始時刻，有Q(0)=0和dQ/dt∣t=0=0；該假設是合理的，因為，剛開始時這個指標還沒誕生，所以可假定該指標及其導數均為0。參見本書第2章第4節（賽博系統與一般系統），我們考慮Q(t)隨時間變化dQ/dt的情況。根據本書第2章第1節的維納定律，賽博系統的當前狀況由它的過去狀況遞迴確定，所以，Q(t)隨時間的變化也由Q(t)確定，即，一定存在某個函數f(Q)，使得
dQ/dt = f(Q)，f(0)=0
將函數f(Q)用其泰勒級數表示為
f(Q)= a1Q + a2Q2 + a3Q3 +…， 其中ai=f(n)(0)/n!
根據泰勒級數的理論已經知道，泰勒級數的前面幾項，可以更好地用來逼近函數f(Q)；即，為了理論分析方便，若必須捨棄某些項的話，最好從後往前捨棄。在最極端的特殊情況下（比如，在Q=0附近或係數ai迅速變小時），如果只能保留泰勒級數中的1項，哪怕犧牲一定的精度，那麼，就可以忽略掉上述泰勒級數中的後面各項，而只保留第1項，於是，就可將上述賽博系統簡化為
dQ/dt = a1Q
它正好就是摩爾定律和馬爾薩斯定律所用到的賽博系統，換句話說：任何一個賽博系統，都可以在犧牲一定的精度後，演變為摩爾系統或馬爾薩斯系統。由此，就可獲得賽博管理學的一個非常簡單、有效的預測和管理方法，即，
結論4.1（賽博管理最簡預測法）：對任何一個人造系統（或更一般地，甚至任何賽博系統），若管理者只關注該人造系統的某一個數量指標Q（該指標可以是任何指標，比如產量等），並且設b1,b2,b3,…,bi,…,i=1,2,…是對該指標進行的時間等間隔採樣值，那麼，只要時間間隔合適，在一定的時間內，在一定的誤差允許範圍內，都成立：(bi+1-bi)/(bi-bi-1)=a，這裏a是某個常數。
關於結論4.1，我們想做如下幾點說明：
1）其實結論4.1就是《系統論》中著名的“自然生長律”；或用馬爾薩斯的話來說，就是“變數與總量之比總是常數”。連續情形時，若常數b為正數（或離散情形a>1），則指標Q將隨時間以指數速度增長，摩爾定律、馬爾薩斯定律和病毒傳播等，就屬於這種情況；連續情形時，若常數b為負數（或離散情形a<1）時，指標Q也將以指數速度下降，放射性物質的衰變、天災人禍造成的人口滅絕率、電腦病毒成功查殺等，就屬於這種情況。
2）結論4.1中強調的“只要時間間隔合適”，並非指採樣間隔越密越好，也不是指越稀越好，而是應該使得每個bi相對公平；比如，若想對月餅數量進行採樣，那麼，以月為間隔進行採樣就不合理了，因為一年四季中，除了中秋附近，其他時間基本上都不生產月餅，即，按陰曆月採樣後將有，bi=0,1≤i≠8≤12，此時結論4.1當然就不可能成立；但是，如果按年為間隔進行採樣，所有獲得的各bi就公平了，此時結論4.1就成立了。總之，如果指標Q有某個週期，那麼，採樣間隔最好要配合該週期；如果Q沒有明顯的週期和劇烈波動，那麼，採樣間隔就越密越好；當然，真正在現實社會中，採樣間隔常常會“搭便車”，比如，借助年度總結或階段小結等，順便獲得。
3）隨著大資料時代的發展，資料統計會越來越方便，各bi的獲得也就越來越容易，因此結論4.1在賽博管理中發揮越來越重要的作用，比如，只需根據任何3個相鄰的採樣點bi-1、bi、bi+1，管理者就可輕鬆算出常數a，即(bi+1-bi)/(bi-bi-1)=a，從而對今後的趨勢做出預測，即，bi+2=abi+1。如果擔心常數a不能長期有效（情況確實會是這樣），那麼，管理者可以首先根據最近的三次實測量bi-1、bi、bi+1，計算出只用一次的常數a*，即預測下一時刻的常數為(bi+1-bi)/(bi-bi-1)=a*，於是預測bi+2=a*bi+1；如此循環往復，便可通過不斷優化常數a，來更加準確地預測下一時刻的指標量Q。
在過去半個多世紀以來，事實證明摩爾定律的預測相當準確；但是，最近幾年的實測資料已經顯示，摩爾定律的誤差越來越大了。怎麼辦？有兩種思路：
其一，採用結論4.1的說明3）中的技巧，對常數a（即，過去摩爾定律中的2）進行不斷微調；然後用微調後的常數去預測下一個採樣點時的指標量，如此往復便能大大改善預測的準確度，而且操作複雜度也基本保持不變。
其二，考慮保留泰勒級數的二次項。為介紹改進摩爾定律的這第二種思路，先歸納已知的、可能導致摩爾定律失效的主要原因：1）晶片生產廠的成本大幅度提高，摩爾定律受到了經濟因素的制約；2）隨著矽片上線路密度的增加，其複雜性和差錯率也將呈指數增長，即，摩爾定律受到了技術因素的制約。總之，摩爾定律的發展受到了資源的限制，無論是經濟資源還是技術資源。其實，針對這些“限制原因”，系統論科學家、社會學家和化學家等，早在摩爾定律誕生前，就已經給出了改進辦法！那就是在上面f(Q)的泰勒級數中，少丟棄一項，即，保留2項，於是便有：
dQ/dt = aQ + bQ2
根據本書第2章第4節，從該微分方程可得Q=(aceat)/(1-bceat)，這裏c是某個常數，由初始條件確定。該賽博系統，就是經典的“資源受限時的人口增長系統”；在社會學中，叫“弗哈爾斯特定律（1938年）”；在化學中，叫“自動催化反應曲線”；在物理學、生物學、系統論等學科中，也都很常見。其實它也是資源受限時的任何賽博系統，在一定的時間範圍內，所遵從的運行規律。管理者顯然也可以通過最多不超過4個相鄰的等間隔採樣值，就能夠推算出指標量Q=(aceat)/(1-bceat)中的各個參數a,b,c（具體的演算法已經很多，此處就不再復述了），從而給出指標量Q的更準確的預測。當然，此時的操作難度，略大於前面的第一種思路。
其實，在資源受限的條件下，摩爾定律、馬爾薩斯定律、任何人造賽博系統的指定標量Q(t)等的“生長情況”，在一定的精確度範圍內，都可以用曲線Q(t)= (aceat)/(1-bceat)來逼近，這是一條S型曲線，即，剛開始時“生長速度”較慢（比如，半導體起步時期）；然後進入第二階段，以指數速度飛快“生長”（比如，摩爾定律提出後的前50年）；最後是第三階段，“生長速度”將趨於一個固定值（比如，假若今後摩爾定律失效後）。
至此，摩爾定律的本質及其今後的修正問題，就都全部解決了。原來，摩爾定律並不神秘，其遵從的規律在賽博世界中其實是非常平淡無奇的，只是過去人們沒有努力去發現而已。我們將上述結論歸納為，
結論4.2（賽博管理的S-曲線預測法）：對任何一個人造系統（或更一般地，甚至任何賽博系統），若管理者只關注該人造系統的某一個數量指標Q（該指標也可以是任何指標，比如產量等），那麼，在一定的時間內，在一定的誤差允許範圍內，都成立Q(t)= (aceat)/(1-bceat)，其中參數c由初始條件確定，參數a,b可由最近的不超過4個合理時間點的採樣值所確定，從而便可預測下一個時間點的指標量。
關於結論4.2，我們想做如下幾點說明：
1）這裏的合理時間點採樣，與結論4.1類似，不再重複解決了；
2）無論採樣間隔是否等距離，此時的結果都不再像結論4.1那麼直觀了；
3）如果採樣工作不難，那麼，建議管理者利用最近的幾個實際採樣值，反復計算並一次性使用a和b，這樣便可使得下一時刻的指標量預測更準確。
4）在實際情況下，到底是用結論4.1的最簡預測法，還是用此處的S-曲線預測法，管理者可以根據實際情況，在簡易性和準確性之間權衡決策。
（二）網路定律回頭看
上一小節，對最著名的網路定律，摩爾定律，進行了詳細揭秘。一方面指出，摩爾定律的實質與200多年前的馬爾薩斯定律，其實是一樣的（見結論4.1）；同時也回答了過去大家普遍關心的問題：摩爾定律失效後，將是什麼情況（見結論4.2）。另一方面，指出了類似於摩爾定律這樣的規律，在賽博世界中隨處可見。許多讀者對這裏的“隨處可見”可能會持懷疑態度，於是在本小節中，我們將重新回顧一下已知的所有網路定律，並指出：它們其實都只不過是結論4.1的特例而已，它們都沒逃出結論4.1的“手掌心”。
1）吉爾德定律
該定律又稱為“勝利者浪費定律”，由號稱“數字時代三大思想家之一”的喬治·吉爾德提出。
吉爾德定律的大致內容是：在未來25年，主幹網的帶寬每18個月增長3倍；將來上網的代價也會大幅下降，甚至會免費。
對比結論4.1，顯然吉爾定律只是一個特例。此時，對主幹網帶寬來說，採樣間隔為18個月，a=3而已，即，主幹網的帶寬增長速度大約為3i；對上網代價Q來說，吉爾德雖然沒有給出量化的結論，但是只要由代價的三個採樣點，而推算出相應的a值小於1的話，那麼，代價Q將以指數速度，迅速逼近0，即免費。
2）貝爾定律
該定律由號稱“DEC技術靈魂、小型機之父，最成功的小型機VAX的設計師”的戈登·貝爾提出。
貝爾定律的大致內容是：如果保持電腦能力不變，每18個月微處理器的價格和體積減少一半。其另一版本是：電腦每10年產生新一代，其設備或用戶數增加10倍。
對比結論4.1，顯然貝爾定律也是一個特例。此時，對微處理器的價格和體積來說，採樣間隔為18個月，a=0.5<1而已。提醒一下，由於a<1，所以，粗看起來，根據結論4.1，微處理器的價格和體積就應該迅速逼近0，而這與現實好像並不符合；但是，別忘了，貝爾定律的前提是“如果電腦能力不變”，顯然如今電腦能力也在迅速提高，所以才致使價格和體積未逼近於0；換句話說，並沒有矛盾出現。針對貝爾定律的另一個版本，此時管理者關注的參量是設備或用戶數Q,採樣間隔為10年，相應的a也為10。
3）反摩爾定律
該定律由Google的前CEO埃裏克·施密特提出。它的大致內容是：一個IT公司，如果今天和18個月前賣掉同樣多的、同樣的產品，它的營業額就要降一半。
對比結論4.1，反摩爾定律也仍然是一個特例，此時，關注的指標量是一個IT公司的營業額，採樣間隔是18個月，相應的a=0.5<1；所以，對IT公司來說，若不快速進步就會以指數2-i的速度死亡（趨於0）。換句話說，所有的IT公司，特別是硬體設備公司，都必須趕上摩爾定律所規定的更新速度，否則就會死掉；比如，曾經引領風騷的SUN公司就是典型案例：由於SUN無法跟上整個行業的速度，便被IT生態鏈上游的軟體公司甲骨文並購了。另一方面，反摩爾定律使得新興的小公司，在發展新技術方面，有可能和大公司處在同一起跑線上，甚至可能取代原有的大公司；比如，在通信晶片的設計上，博通和Marvell就是成功的案例。
4）紮克伯格社交分享定律
該定律由Facebook創始人紮克伯格，于2011年提出。它的大致內容是：社交共用信息量以倍數增加，今天共用資訊總量是兩年前的兩倍，從開端後的一年，用戶所發生的資訊共用總量將是今天的兩倍。
對比結論4.1，紮克伯格社交分享定律仍然只是一個特例；只不過此時關注的指標是“社交共用信息量”，採樣間隔為1年，相應的a=2，所以，社交共用信息量將以指數2i的速度增大。
5）庫梅定律
該定律由斯坦福大學的教授喬納森·庫梅提出。它的大致內容是：每隔18個月，相同計算量所需要消耗的能量會減少一半。
對比結論4.1，庫梅定律也只是一個特例；只不過此時關注的是“相同計算所消耗的能量”，採樣間隔為18個月，相應的a=0.5<1，即，相同計算所消耗的能量以指數1/2i的速度迅速減少。但是，由於計算量越來越大，所以，總的能量消耗也是越來越大；換句話說，計算量增大的速度超過了庫梅定律。
6）互聯網寬頻的尼爾森定律
該定律由尼爾森博士于1998年提出，其大致內容是：高端用戶帶寬將以平均每年50%的增幅增長，每21個月帶寬速率將增長一倍。
對比結論4.1，尼爾森定律也是一個特例；只不過此時關注的是“高端用戶帶寬”和“帶寬速率”而已。前者的採樣間隔是1年，相應的a=1.5；後者的採樣間隔是21個月，相應的a=2。
7）庫伯定律
該定律由手機發明者庫伯提出，它的大致內容是：給定的無線電頻譜中所包含的最大信息量（頻譜效率），每30個月就要翻一番。
對比結論4.1，庫伯定律也只是特例；此時，被關注的指標量是“頻譜效率”，採樣間隔為30個月，相應的a=2而已。
8）Edholm帶寬定律
該定律的大致內容是：在過去25年內，短距離無線通信系統的帶寬需求，每隔18個月翻一番。
對比結論4.1，Edholm帶寬定律也只是特例；此時，被關注的指標量是“短距離無線通信系統的帶寬需求”，採樣間隔為18個月，相應的a=2而已。
9）超摩爾定律
摩爾定律不僅適用於對記憶體晶片的描述，也可精確說明處理機能力和磁碟機存儲容量等方面的發展，比如，晶片上的電晶體數量，每18個月增加1倍；PC機的內記憶體容量，每18個月增加1倍。軟體的規模和複雜性的增長速度，甚至超過了摩爾定律，並稱之為“超摩爾定律”等。
雖然沒人指出“超摩爾定律”，從精確的數量上，到底是如何超的；但是，很顯然，任何人只要能獲得三個採樣點，就可輕鬆求出相應的a，它肯定大於2（但是我們估計會很接近2），否則就不能叫“超”了。
10）新摩爾定律
這是出現在中國IT專業媒體上的一種表述，其大致內容是：中國Internet聯網主機數和上網用戶人數的遞增速度，大約每半年就翻一番。
對比結論4.1，新摩爾定律也是一個特例；此時，時間採樣間隔為6個月，相應的a=2而已。
綜合以上各種網路定律，不難看出：雖然這些定律的提出者，大都是全球IT界的翹楚；但是，這些定律其實都只是本章的結論4.1的簡單特例而已。換句話說，任何人，哪怕只有初中數學水準，只要有足夠的資料（即，能夠獲得三個採樣點值；進入大資料時代後，這將越來越容易），那麼他就可以發現眾多類似的“摩爾定律”！因此，各位讀者，注意當個有心人吧，沒准今後你會發現並提出比“摩爾定律”還偉大的定律呢。