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客戶評價
  • Fuzzy delphi問卷的資料統計分析讓我很是頭疼,不知道怎麼辦,束手無策;在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師協助跑統計分析,在老師的輔導和幫助下,順利把結果做出來,結果比較理想。感謝旺登統計公司博士老師提供的統計代跑協助服務。
    沈小姐
    來自: 臺北
  • 碰到SCI英文護理論文跑統計,感覺有點棘手,正為難著。在穀歌搜索看到旺登統計公司博士老師提供英文SCI護理論文統計代跑輔導,把問卷表、資料及要求發給博士老師。在博士老師的輔導下,順利跑出結果。感謝旺登統計公司博士老師專業的輔導。
    林小姐
    來自: 臺北
  • 碰到碩士論文stata跑統計,對我來講,有點難。正束手無策。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供stata論文統計代跑及輔導。把問卷表、資料發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果。對旺登統計公司博士老師專業、嚴謹、認真的輔導表示感謝。
    邱小姐
    來自: 臺北
  • 護理論文跑GEE統計,有點棘手。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供GEE統計代跑及輔導,把問卷表和數據發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果。感謝旺登統計公司博士老師認真、嚴謹的輔導和幫助,解決我一大難點。
    陳先生
    來自: 臺北
  • 護理論文跑gee統計描述和統計推斷,對我而言,是個難題,束手無策。在雅虎奇摩搜索看到旺登統計公司博士老師提供gee統計代跑及輔導,把資料、問卷表及要求發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果,結果吻合期望。非常感謝旺登統計公司博士老師的嚴謹、認真的輔導,解決我一個難題。
    邵小姐
    來自: 臺北
  • 設計一個貿易模型,需要用matlab程式類比和仿真,借用旺登統計公司博士老師的協助,把程式代碼設計出來,跑出的結果比較理想。對旺登統計公司博士老師優質的論文程式設計能力表示認可。
    羅老師
    來自: 臺北
  • 碰到論文的統計分析難點,不知道怎麼解決;在旺登統計公司博士老師的幫助下,順利跑出結果,讓我克服困難,對旺登統計公司博士老師的輔導和幫助表示感謝。
    史小姐
    來自: 高雄
  • 碰到博士論文翻譯,在雅虎奇摩看到旺登公司提供學術論文翻譯協助服務,在博士老師的協助下,順利翻譯完成,感謝旺登公司博士老師學術論文翻譯協助服務。
    李先生
    來自: 香港大學
  • 在工作中需要設計一款matlab程式代碼,在尋求旺登博士老師幫助後,順利解決問題,感謝旺登博士老師的程式設計協助服務,解決我的困難。
    張先生
    來自: 中科院福建物構所
  • 論文APA格式一直沒解決,在奇摩網上看到旺登博士老師提供論文APA格式修改服務,感謝旺登博士老師提供的協助,讓我解決不少困難。
    李小姐
    來自: 台中
  • 有一組實驗資料,需要協助跑統計分析,在旺登博士老師的幫助下,順利解決問題,感謝旺登博士老師的協助。
    李小姐
    來自: 鄭州
  • 論文摘要翻譯碰到了點問題,在文華軒博士老師的協助下,完成了論文摘要翻譯,感想旺登公司博士老師的協助。
    陳小姐
    來自: 吉林
  • 感謝旺登博士老師學術論文翻譯協助服務,解決我的困難,順利幫我翻譯好論文。
    李小姐
    來自: 中科院
  • 碰到論文跑統計,束手無策。在奇摩上看到旺登公司提供論文統計代跑協助,在博士老師的輔導和協助下,順利跑出結果,感謝旺登博士老師的高水準服務。
    林先生
    來自: 台南
  • 有一個學術簡歷需要翻譯,尋求旺登博士老師協助,在老師的幫助下,順利完成,感謝旺登博士老師學術簡歷翻譯協助服務。
    象先生
    來自: 日本
  • 在論文設計中碰到蟻群演算法設計,尋求文華軒博士老師協助,在老師的輔導和幫助下,順利解決演算法和程式代碼的設計,感謝旺登博士老師程式設計協助服務。
    易先生
    來自: 台中
  • 護理論文跑無母數統計,有點困難。在雅虎奇摩搜索看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑及輔導服務,把資料及要求發給博士,在博士老師的輔導下,順利跑出結果。旺登統計公司博士老師的統計代跑,技術專業,品質可靠,收費公道,解決我一大難點,非常感謝博士的認真輔導和代跑
    翁小姐
    來自: 臺北
  • 護理論文APA格式及排版,讓我頭疼;在雅虎奇摩上搜索看到旺登統計公司博士老師提供論文APA格式修改及排版服務。趕快將稿件及要求發給博士老師,在博士老師的輔導下順利完成APA格式修改及排版,真是省了不少心。更重要的是,旺登統計公司博士老師還協助完成中英文翻譯,感受到的是旺登統計公司博士老師多才多藝,技術相當專業,服務品質相當可靠,深感榮幸。
    黃小姐
    來自: 國立臺北護理健康大學
  • 英文論文數據統計,碰到很大的困難。在穀歌搜索看到旺登統計公司博士老師提供英文論文數據分析,把數據和要求發給博士,在博士老師的努力和輔導下,順利跑出結果。對旺登統計公司博士老師的輔導和代跑,表示感謝。輔導還免費,臺北最人性化的統計代跑公司。
    劉小姐
    來自: the united states
  • 護理碩士論文全文APA格式,成為心頭的麻煩事,不是很懂。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供論文APA格式修改。把稿件發給博士老師,在博士老師的排版和修正下,完整呈現APA格式,省我不少心,非常感謝。
    黃小姐
    來自: 臺北護理健康大學
  • 博士論文跑smartPLS統計,碰到很大的困難。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供PLS數據分析,把數據和問卷表發給博士,在博士老師的輔導下,順利跑出結果。非常感謝旺登統計公司博士老師的輔導。
    林先生
    來自: 臺中
  • 碩士論文跑統計,碰到德爾菲及AHP統計難點,正愁著呢!在雅虎上看到旺登統計公司博士老師提供德爾菲及AHP論文統計代跑及輔導。把德爾菲專家問卷表發給博士老師,在博士老師的輔導及修改下,採集資料,跑統計,結果理想。感謝旺登統計公司博士老師,省我不少心。
    李小姐
    來自: 臺北
  • 心理學論文跑統計,有點難。碰到的問題,不知道怎麼解決?在穀歌搜索看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑及輔導,把資料、問卷表發給博士老師。在博士老師的協助下,順利跑出結果。儘管部分不顯著,但博士老師依然認真輔導與解釋。服務水準真好。感謝博士老師的輔導與幫忙。
    丁小姐
    來自: 屏東
  • 碰到論文AHP統計,一頭霧水。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供AHP統計代跑及輔導,把AHP專家問卷表和數據發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果,並做出完整分析。感謝博士老師的認真、嚴謹,省我不少心。
    黃小姐
    來自: 成功大學
  • 英文論文STATA統計太難,正束手無策。在google搜索上看到旺登統計公司提供英文論文統計代跑及輔導,把數據及問卷發給博士老師,在博士的反復返修及輔導下,順利跑出結果。對博士的認真、嚴謹表示感謝。
    劉小姐
    來自: 高雄
  • 碰到土木領域的AHP統計,甚難!在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供AHP檔數據統計代跑及輔導,把數據及要求發給博士,在博士老師的輔導下順利完成。感謝博士的嚴謹認真輔導。統計真棒!
    朱先生
    來自: 高雄
  • 心理學論文問卷數據跑統計,實在有點難。在雅虎上看到旺登統計公司提供統計代跑及輔導服務,把問卷數據和要求發給博士老師。在博士老師的輔導下,順利跑出結果。非常感謝有這麼好的統計輔導公司。
    馬小姐
    來自: 桃園
  • 碰到心理學論文前測信效度分析,把數據和要求發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果。感謝有這樣的輔導,節省我不少時間。
    馬小姐
    來自: 高雄
  • 碰到金融論文跑統計,實在是沒辦法。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供中英文金融論文跑統計輔導,把數據和要求發給博士老師。在博士老師的努力下,順利跑出結果。經過幾次的返修,吻合了要求。對旺登統計公司博士老師高效高品質的服務表示感謝。解決了我的燃眉之急。
    林先生
    來自: 雲林
  • 企業管理問卷數據跑統計碰到很大的困難。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供跑統計輔導及服務,把數據及問卷表發給博士老師。在博士老師的輔導下順利跑出結果。非常感謝,解決我一個難點。
    徐小姐
    來自: 臺北
  • 碰到AHP問卷統計分析難點,正不知道怎麼入手。在穀歌搜索找到旺登統計公司博士老師提供AHP問卷數據統計代跑及輔導,把AHP問卷樣本發給博士老師。在博士老師的輔導下,順利跑出結果,解決我一件費心事,感謝旺登統計公司博士老師認真、嚴謹的態度。
    張先生
    來自: 高雄
  • 碰到英文論文數據分析,有點難。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供英文論文資料分析輔導,把資料和要求發給博士老師,在博士老師的協助下,跑出結果。文章發表在《Journal of educational technology and society》,對旺登統計公司博士後老師的輔導和協助表示感謝。
    傅博士
    來自: 高雄
  • 委託旺登統計公司博士老師設計一套記賬軟體,經過反復修改和補充,終於完成。對旺登統計公司博士老師軟體設計能表示讚賞。旺登公司是貨真價實的好公司。
    陳先生
    來自: 臺中
  • 碰到統計難點及APA格式問題,在旺登統計公司博士老師的輔導及協助下,順利完成;感受到旺登統計公司博士老師的精湛技術,服務超棒!
    詹小姐
    來自: 雲林
  • 碰到很多問題,包括APA格式問題,亦包括統計分析難點;實在沒辦法,在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供統計代跑輔導及APA格式修改等輔導,把要求和數據發給博士,在博士老師的認真輔導下順利做好了,服務超棒!感恩旺登
    詹小姐
    來自: 高雄
  • 心理學跑統計,真是難了!在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供統計代跑及輔導,把要求和數據發給博士老師,在博士老師的認真輔導下,順利跑出結果。真是感謝。
    麗子
    來自: 雲林
  • 之前委託一個香港本地的統計公司,沒能把醫學統計做好;焦急中,看到旺登統計公司博士老師提供統計代跑及輔導,把資料和要求發給博士老師,在博士老師的努力下,順利做出分析結果。感覺還是臺灣的統計公司比較專業,收費也公道。
    ML先生
    來自: 香港
  • 彭到醫護質性分析的難點,在雅虎奇摩上搜索,看到旺登統計公司博士、博士後老師提供質性分析輔導和協助,把要求發給博士老師,在老師的幫助下,順利做出分析結果。對旺登統計公司高品質的服務表示感謝。
    彭小姐
    來自: 彰化縣
  • 已經完成爬蟲抓取PTT資料,但如何正確使用k-means找出最佳分群數後利用LDA主題模型分群,卻成為難點。在朋友推薦下,選擇旺登統計公司博士老師協助和輔導,跑出正確的結果,對旺登統計公司博士老師的服務品質和服務水準表示認可與感謝。
    王先生
    來自: 新北
  • 護理論文統計,把我難住了。實在沒辦法,在雅虎奇摩搜索,看到旺登統計公司博士老師輔導統計分析,把問卷表、資料及分析要求發給博士老師。在博士老師的認真輔導下,順利完成。謝博士老師的輔導,協助我順利完成論文的統計分析,讓心中的大石頭終於可以放下。再次感謝博士老師。
    連小姐
    來自: 宜蘭
  • 碰到expert choice AHP問卷資料分析難點,在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供expert choice AHP問卷資料統計代跑和輔導,把20份問卷樣本發給博士老師,在博士老師的認真輔導下,順利跑出結果。對博士老師認真、嚴謹、專業的分析表示讚賞。
    徐先生
    來自: 新竹
  • 碰到醫學論文統計難點,要求跑描述性統計、t 檢定、單因數變異數分析(ANOVA)、卡方檢定、皮爾森積差相(Pearson correlation)檢定、羅吉斯迴歸分析(Logistic regression),真是一頭霧水。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供統計代跑和輔導,把量表和資料及要求發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果。博士老師實在厲害,技術專業,作風嚴謹,態度認真。
    廖先生
    來自: 台中
  • 企業管理論文問卷統計碰到很大的困難,面對這些點,包括信度分析、獨立樣本T檢定、單因數變異數分析、皮爾森相關分析、回歸分析,簡直蒙了,不知道怎麼處理。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑及輔導,把資料、問卷表等資料發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果。對旺登統計公司博士老師認真、嚴謹的服務能力表示讚賞,收費也比較公道。
    李先生
    來自: 台北
  • 論文問卷統計分析,在卡方檢定及迴歸分析這2個問題碰到很大的困難。在谷歌上看到旺登統計公司博士老師提供統計代跑及輔導,把問卷表、資料及要求發給博士老師,在博士老師的協助下,順利跑出結果。對博士老師認真、嚴謹的做法表示認可和感謝,解決我一個難點。
    陳先生
    來自: 台中
  • 醫學論文要跑羅吉斯迴歸分析,Logistic regression,真是麻煩。有很大困難,在旺登統計公司博士老師的輔導下,順利跑出結果。旺登統計公司博士老師專業、嚴謹、認真,非常感謝,解決我一個煩惱。
    廖先生
    來自: 台中
  • 企業管理論文碰到卡方檢定及迴歸分析,真是不知道怎麼分析?在谷歌上看到旺登統計公司博士老師提供統計代跑及輔導,把樣本資料和統計要求發給博士,在博士老師在協助和輔導下,順利把結果跑出來;除了跑出結果,博士老師還依據要求配合返修和潤色,對旺登統計公司博士、博士後老師的認真、嚴謹、專業服務表示認可和滿意。
    陳先生
    來自: 屏東
  • 土木工程論文AHP問卷資料統計分析,碰到很大的困難。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供AHP問卷資料統計代跑及輔導,把問卷表、資料及要求發給博士老師,在博士老師的輔導和協助下,順利通過口試。感謝旺登統計公司博士老師的認真、嚴謹輔導。
    朱先生
    來自: 高雄
  • 碰到英文論文SPSS問卷統計分析,有點困難。在雅虎上看到旺登統計公司博士老師提供英文論文統計代跑及輔導,把問卷表、資料及分析要求發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果和分析。對旺登統計公司博士老師認真、嚴謹的資料分析能力表示感謝和讚賞。
    黃小姐
    來自: 香港
  • 會計論文stata統計分析碰到很大的困難。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供stata論文統計代跑及輔導,把資料及要求發給老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果,還配合輔導和返修,對博士老師認真的輔導和協助表示感謝。
    王先生
    來自: 台中
  • 有一則中譯英的公證書需要翻譯。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師協助翻譯公證書,把英檔發給博士老師,很快就翻譯完成,完全吻合要求。非常感謝旺登統計公司博士老師協助翻譯公證書。
    鄭小姐
    來自: 香港
  • 幼稚教育論文問卷資料統計分析,碰到很大的困難。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑及輔導,把資料、問卷表、統計分析要求發給博士老師,在博士老師的輔導和協助下,順利跑出結果。期間,博士老師還輔導怎麼跑資料,怎麼修改,服務水準真是太好了。非常感謝。
    黃小姐
    來自: 高雄
  • 碰到會計論文stata資料統計分析,有點難。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供stata統計代跑輔導。把資料和要求發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利把stata代碼設計出來,亦把分析結果跑出來,對旺登統計公司博士老師高水準的輔導和協助表示感謝。
    王先生
    來自: 台中
  • 有一份公證書需要委託翻譯。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供公證書翻譯,把英文檔發給博士老師,在老師的協助下,順利完成翻譯。對旺登統計公司博士老師公證書翻譯表示滿意。非常感謝。
    鄭小姐
    來自: 菲律賓
  • 碰到英文論文統計分析,確實是壹個難點。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供英文論文統計分析。把數據和要求發給博士老師,在博士老師的協助和輔導下,順利跑出結果,並做出可靠的文字分析。對旺登統計公司博士老師高水平的服務表示認可和感謝。
    傅博士
    來自: 高雄
  • 碰到特別難的醫學護理論文統計分析,真是難住我了。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供醫學護理論文統計分析輔導,把資料、問卷表和統計要求發給博士老師。在博士老師的輔導下,順利跑出結果,讓我非常滿意。對旺登統計公司博士老師真誠的協助和輔導表示感謝,減輕我不少課業輔導。
    陳小姐
    來自: 台北
  • 碰到SmartPLS統計分析,束手無策,有點難。不知道怎麼辦。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供英文論文SmartPLS統計分析輔導和協助,把資料和要求發給老師,在老師的協助下是,順利跑出結果,還把對應的英文文字分析協助好。對旺登統計公司博士老師的精益求精表示感謝,減輕我課業負擔,讓我減少很多壓力。
    陳小姐
    來自: 台中
  • 論文碰到問卷資料統計分析,對我而言,實在太難了。真束手無策。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑和輔導。把問卷資料和要求發給博士老師,在博士老師的輔導下跑出分析結果。博士老師技術專業,認真負責,除了輔導跑統計外,還配合返修,對博士老師認真、嚴謹的輔導表示感謝。旺登真的是高雄最好的統計代跑輔導公司。
    蔡小姐
    來自: 高雄
  • 一份統計,真的是有難度,不知道怎麼解答。在雅虎上看到旺登統計公司博士老師有輔導跑統計,把資料和要求發給博士老師,在老師的輔導下,順利跑出結果。非常感謝旺登統計公司博士老師的認真、嚴謹。
    張小姐
    來自: 花蓮
  • 英文論文SPSS統計分析碰到了點困難,正急呢!在谷歌臺灣上看到旺登統計公司博士老師提供英文論文SPSS統計代跑和輔導服務,把資料和要求發給老師,在老師的協助下,順利跑出結果。博士老師認真、嚴謹,不止如此,期間的返修,也都積極配合,直至分析完整為止。服務真的很棒!感謝高雄有這麼好的統計公司!
    傅博士
    來自: 高雄
  • 論文AHP統計分析,真是個難點。實在沒辦法,在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑和輔導,把資料和要求發給博士老師,在老師的輔導下,跑出結果。對旺登統計公司博士老師認真、嚴謹的輔導表示感謝。真的是臺灣最好的統計公司。贊。
    劉小姐
    來自: 屏東
  • 英文論文問卷統計分析碰到困難,正為難。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供英文論文問卷SPSS統計分析和輔導,把問卷表、資料和要求發給老師,在老師的協助下順利跑出結果。對旺登統計公司博士老師高水準的統計能力表示感謝。
    李小姐
    來自: 屏東
  • 論文APA格式讓我頭疼,全文排版問題也一直都無法解決。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師協助修改論文APA格式及論文排版修改協助服務。把要求和稿件發給博士老師,在博士老師的協助下,順利完成論文APA格式及圖表的排版,真是感謝旺登統計公司博士老師的協助。
    李小姐
    來自: 高雄
  • 論文中碰到vensim程式模擬分析,對這軟體不是很精通。在雅虎上看到旺登統計公司博士老師輔導vensim程式代碼設計和模擬分析,把要求發給博士老師,在博士老師的輔導和協助下,完成代碼設計和模擬分析,對文華軒統計公司博士老師的輔導表示感謝。
    陳博士
    來自: 屏東
  • 英語論文問卷SPSS統計分析碰到很大的困難,束手無策。搜索穀歌論文統計代跑,找到旺登統計公司博士老師提供英文論文問卷SPSS統計分析和輔導。把問卷表和資料發給博士老師,在老師的協助下,順利跑出結果。不只如此,博士老師還循循善誘,認真輔導,配合返修,最後還依據分析結果,給出口試的指導意見,對旺登統計公司博士老師認真負責的輔導表示感謝,解決我一個難點。
    李小姐
    來自: 屏東
  • 碰到一個HLM統計分析,實在不懂。在雅虎看到旺登統計公司博士老師提供HLM統計分析輔導協助,把資料發給老師,在博士老師的輔導和協助下,順利做出結果。感謝旺登統計公司博士老師的輔導。
    李小姐
    來自: 英國
  • 碰到博士論文APA格式的調整,始終沒整好,不知道怎麼處理為好。在雅虎看到旺登統計公司博士老師提供論文APA格式修改輔導服務。把要求和稿件發給博士老師,在博士老師的協助下,順利完成論文APA格式的修改。感謝旺登統計公司博士老師的輔導和幫忙,解決我一個困難。
    林小姐
    來自: 高雄
  • 英語問卷SPSS統計分析,把我難住了。自己不懂SPSS統計。在雅虎看到旺登統計公司博士老師提供英語問卷SPSS統計代跑和輔導。把問捲髮個博士老師,在老師的協助下,完成KEY IN和問卷資料統計代跑,非常感謝旺登統計公司博士老師的認真協助。
    傅小姐
    來自: 高雄
  • 碰到醫學問卷資料統計分析,包括t檢驗、卡方檢驗、方差分析、綫性回歸、典型相關分析。實在不懂。在谷歌上看到旺登統計公司博士老師協助跑統計分析,把要求和資料發給博士老師,在老師的協助和輔導下,順利跑出結果。對旺登統計公司博士老師的認真輔導和統計分析表示感謝。
    余小姐
    來自: 醫院
  • 碰到層級分析法AHP問卷統計分析,有點麻煩。在谷歌上看到旺登統計公司博士老師提供AHP問卷統計代跑和輔導,把問卷表和資料發給老師,在老師的協助和輔導下,順利跑出結果,非常感謝旺登統計公司博士老師的輔導和協助.
    王先生
    來自: 臺北
  • 碰到英文SPSS問卷資料統計分析,真的是沒半點基礎,不知道怎麼辦。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑和輔導,把問卷資料和統計要求發給老師,在老師的輔導和幫助下,順利跑出結果。非常感謝博士的認真協助和輔導,解決我一個難點和困惑。
    李小姐
    來自: 屏東
  • 醫學論文P值計算碰到困難,請博士老師協助計算P值和細項之間是否有顯著差異性,在旺登統計公司博士老師的協助下,順利完成。結果很顯著,非常感謝博士老師高水準的協助。
    吳小姐
    來自: 中山醫學大學附設醫院
  • 碰到護理論文統計分析,成為我的難點。在谷歌上看到旺登統計公司博士老師提供護理論文統計代跑,把問卷郵遞給老師,在老師的幫助下完成問卷KEY IN和統計分析,結果很理想。非常感謝博士老師的協助和幫忙。
    劉小姐
    來自: 台中
  • 碰到英文論文SPSS統計分析,成為一個難點。在谷歌上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑及輔導,把資料和分析要求發給老師,與老師溝通後,在老師的輔導和幫助下,順利跑出結果。非常感謝旺登統計公司博士老師的協助,老師認真、負責,厲害。
    曾小姐
    來自: 英國
  • 碰到博士論文的APA格式,有點麻煩,真不知道怎麼辦。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師協助修改APA格式,把博士論文全文發給博士老師,在老師的協助下,順利完成博士論文APA格式修改和修正,感謝博士老師的熱心協助。
    林小姐
    來自: 高雄
  • 博士論文碰到多元線性回歸,一直是個難點,束手無策。在谷歌上看到旺登統計公司博士老師提供統計代跑和統計輔導。把資料和要求發給博士老師,在老師的協助下,順利跑出結果。對文華軒統計公司博士老師的協助和輔導表示感謝。
    陳博士
    來自: 香港
  • 碰到多項羅吉特模式及混合羅吉特模式之校估與建構說明,感覺多項logit回歸分析有點難度,實在不知道怎麼入手。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師協助跑統計,把資料、問卷表和要求發給博士老師,在老師的協助和輔導下,順利跑出結果。對旺登統計公司博士老師熱心的幫忙和優質的服務表示感謝,解決我一個難點。
    鐘先生
    來自: 高雄
  • 碰到博士論文APA格式修正,第六版APA格式修正,有點束手無策。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供論文APA格式修改,把稿件及要求發給博士老師,在老師的協助下,順利完成全文APA格式校訂和修正,感謝博士老師的熱心協助和幫忙。
    陳小姐
    來自: 高雄
  • 對於論文問卷統計資料分析實在不熟悉,在旺登統計公司博士老師的專業協助下,從問卷前測分析、問卷修改、正式問卷產出以及問卷樣本分析一直到順利完成口試,真的非常感謝旺登統計公司博士老師在過程中,積極與用心的協助,解決我一個難點。
    李小姐
    來自: 高雄
  • 博士論文全文APA格式碰到很大的困難,不知道怎麼辦。在雅虎上看到旺登統計公司博士老師提供論文APA格式修改協助,把論文發給博士老師,在老師的輔導和協助下,完成博士論文全文APA格式修正,感謝老師的輔導。
    陳小姐
    來自: 高雄
  • 跑SPSS統計碰到了點困難,正嘀咕著怎麼辦。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供SPSS統計代跑及統計家教輔導。把問卷表和資料發給老師,在老師的協助和輔導下,完成了預測問卷資料分析並對問卷表進行多輪修改,最終確定正式問卷表,而後開始採集樣本資料,最後結果顯示,旺登統計公司博士老師跑的統計分析非常仔細、認真,包括輔導都非常用心,感謝有這麼好的輔導老師,感謝博士老師的協助與輔導。以後如果有朋友跑統計分析,一定推薦旺登統計公司的博士老師。真的很贊。
    李小姐
    來自: 高雄
  • 在臺北尋找大陸客問卷調查服務公司,最後在奇摩上找到旺登統計公司提供大陸客問卷調查服務。把調查要求和問卷設計要求告訴博士老師,在老師的協助下,完成問卷設計、問捲髮放和問卷調查報告撰寫,整個流程非常順利。對旺登統計公司博士老師高水準的問卷設計能力表示肯定,對旺登統計公司協助完成大陸問卷調查協助服務表示感謝。
    楊小姐
    來自: 雄獅旅遊集團
  • 論文SPSS統計分析碰到很大的困難。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師協助跑SPSS統計分析,把問卷表、問卷原始資料、統計分析要求發給老師,在老師的輔導和協助下,順利跑出結果。期間,老師耐心、認真配合返修,感覺很好。
    賴小姐
    來自: 高雄
  • 碰到修正式德爾菲問卷資料統計分析難點,包括AHP問卷資料分析等問題,一直找不到頭緒。在奇摩上看到旺登統計公司博士老師輔導和協助跑德爾菲問卷資料統計代跑和AHP問卷資料統計代跑等協助和輔導,把資料和問卷表發給博士老師,在老師的輔導下,順利完成問卷樣本採集,並跑出結果,對旺登統計公司博士老師專業的德爾菲問卷資料統計代跑和AHP問卷資料統計代跑表示感謝,解決我一個難點。
    易先生
    來自: 新北
  • 在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師協助跑統計,在老師的協助下,完成前測問卷分析、問卷KEY IN、問卷表修改、正式問卷資料統計分析等協助,老師認真輔導與解說,很是滿意。對旺登統計公司博士老師輔導跑統計分析,非常感謝。品質可靠,價格公道。
    李小姐
    來自: 屏東
  • 碰到論文統計難點,要跑多元迴歸分析(Multiple regression analysis)。有點頭疼,不知道怎麼分析?在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師協助跑統計和輔導。把資料和要求發給老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果。感謝旺登統計公司博士老師協助。解決我一個難點。
    賴小姐
    來自: 花蓮
  • 在檢索英文論文文獻,碰到困難;在雅虎奇摩上看到旺登統計公司協助檢索和查找英文論文文獻,把文獻題目發給老師,在老師的協助下,找到英文論文文獻,感謝博士老師協助,非常熱心,收費也公道。
    李先生
    來自: 臺北
  • 碰到德爾菲問卷設計和德爾菲問卷數據分析,不是很精通;在奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供模糊德爾菲問卷設計和德爾菲問卷數據分析,把要求發給博士老師,在博士老師的協助和輔導下,完成問卷設計和問卷樣本數據採集、數據整理,最後跑出結果;對旺登統計公司博士老師優質的問卷數據統計代跑表示感謝。
    徐老師
    來自: 台中
  • 論文APA格式一直很頭疼,不知道怎麼修改論文APA格式;在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文APA格式修改協助和輔導,把稿件發給老師,在老師的輔導和協助下順利修改,感謝旺登博士老師協助和輔導。
    張小姐
    來自: 高雄
  • 護理論文問卷統計碰到很大的困難,一直找不到合適的輔導機構;在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供醫學護理論文問卷統計代跑協助服務,把要求和資料發給老師,在老師的輔導下,順利跑出結果。對旺登統計公司博士老師的認真嚴謹的輔導表示感謝。老師認真、負責,還配合返修,非常感謝。
    史小姐
    來自: 高雄
  • 碰到前測後測問卷的統計代跑,因為學有不精,所以碰到了很大的困難。在奇摩網上看到旺登統計公司博士老師提供統計代跑,在老師的輔導和幫助下,順利跑出結果;老師認真、可靠,不只跑統計,還提供輔導和返修,對老師的認真表示感謝。
    劉小姐
    來自: 高雄
  • 護理論文統計分析碰到困難,在奇摩網上看到旺登統計公司博士老師提供醫學論文統計代跑協助,把問卷表和問卷樣本資料發給老師,在老師的輔導下,順利跑出結果;期間還讓老師協助返修,非常感謝旺登統計公司博士老師的辛苦與認真輔導,感謝有這樣的統計代跑輔導機構。
    史小姐
    來自: 高雄
  • 碰到論文 統計分析修改,一時不知道怎麼辦。卡在那裏。需要修改統計分析及結果,感覺SPSS和SEM結構方程模型統計分析結果修改好難。在奇摩上看到旺登統計公司提供論文修改協助,把稿件、原始資料和修改要求發給老師,在老師的協助和輔導下,順利完成修改。感謝旺登統計公司博士老師的認真修改。
    孫先生
    來自: 新北
  • 論文中碰到遺傳演算法設計,一時解決不了。在奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文演算法設計協助服務,把演算法設計要求發給老師,在老師的輔導和幫助下,順利設計出演算法matlab程式代碼,運行結果吻合要求。感謝旺登統計公司博士老師程式演算法設計協助服務。
    陳博士
    來自: 高雄
  • 碰到論文問卷前測後測統計分析難點,一直無法解決;在奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計家教輔導服務,把資料和要求發給博士老師,在老師的協助和輔導下,跑出結果,非常感謝旺登統計公司博士老師的論文問卷統計家教協助服務,解決我一個難點。
    劉小姐
    來自: 高雄
  • 80份前測後測問卷統計分析碰到困難,在奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文問卷統計代跑協助服務,在博士老師的協助下順利跑出結果。感謝博士老師的協助。減輕我不少困難。
    劉小姐
    來自: 高雄
  • 碰到生物醫學統計分析難點,解決不了。正愁著呢。在奇摩上看到旺登統計公司博士老師協助跑統計,把樣本資料和要求發給老師,在老師的輔導和幫助下順利跑出統計分析結果。對旺登統計公司博士老師的輔導和幫助表示感謝。
    黃小姐
    來自: 高雄
  • 碰到仲介效應和調節效應,不是很懂。在奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計代跑,在老師的幫助下,用mplus統計軟體完成了仲介效應和調節效應檢驗,感謝有這麼好的統計公司協助和輔導。
    張小姐
    來自: 新北
  • 碰道Vensim程式設計的困難,在博士老師的輔導下完成了代碼的設計和調試,感謝旺登統計公司博士老師程式設計協助服務。
    陳先生
    來自: 新北
  • 論文統計分析碰到了困難,一直不知道怎麽跑出結果。在奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供論文統計分析家教協助服務,在博士老師的輔導和協助下,跑出結果,對旺登統計公司博士老師的協助和輔導表示感謝。
    林先生
    來自: 新北
  • 委托旺登統計公司博士老師設計matlab代碼,經過調試和代碼運行,結果吻合需求。對旺登統計公司博士老師程式設計和輔導表示感謝。
    張先生
    來自: 中科院福建物構所
  • 碰到論文統計難點,不懂中介調節效應。在奇摩網看到旺登統計公司博士老師提供統計家教輔導服務,把數據發給博士老師,在老師的輔導下,跑出結果。對旺登統計公司博士老師優質的統計分析表示感謝,解决了我一個難點。
    林先生
    來自: 新北
  • 碰到論文翻譯,在奇摩上找到旺登統計公司,在老師的協助下完成論文翻譯,品質相當好,感謝有老師的協助和幫忙,在此點個贊。
    梅小姐
    來自: 林肯大學
  • 碰到模糊德菲法問卷分析,有點難,不知道怎麼辦。在奇摩雅虎網上看到旺登統計公司博士老師提供模糊德菲法問卷設計和問卷統計分析協助,把16份樣本資料發給老師,在老師的輔導和幫助下,順利跑出結果,吻合要求。感謝有旺登統計公司博士老師的協助,解決我心頭之難。
    沈小姐
    來自: 臺北
  • 在奇摩上看到旺登公司博士老師提供軟體設計服務,把營造商施工項目金額紀錄系統的專案委託給博士老師設計,在老師的協助、調試、反復修改和輔導下,完成代碼設計,結果吻合需求。感謝旺登公司博士老師軟體設計協助服務。
    吳先生
    來自: 臺北
  • 碰到單因數變異數分析和逐步多元迴歸分析,不知道怎麼辦。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師協助跑統計,順利跑出結果,感謝有這樣的統計分析協助。
    王小姐
    來自: 新北
  • 論文程式設計碰到了很大的困難,束手無策。在雅虎奇摩看到旺登公司博士老師提供論文程式設計協助服務,把要求和資料發給老師,在老師的努力下,跑出理想的結果,代碼也完全吻合需求。對旺登博士老師優質的程式設計能力表示感謝。
    陳先生
    來自: 新北
  • 碰到論文統計分析難點,一直得不到輔導。在奇摩上看到旺登統計公司提供論文統計代跑協助,在博士老師的輔導和幫助下,跑出結果。老師認真細心,協助修改,最終完成論文統計代跑協助,解決我一個難點,感謝有這樣好的輔導老師。
    林小姐
    來自: 臺北
  • 不是很精通SPSS統計分析,碰到困難。在奇摩網上看到旺登博士老師提供論文問卷統計分析協助,把問卷表、樣本資料及要求發給老師,在老師的協助下跑出結果。感謝旺登博士老師的傾力協助和輔導,解決我的困難。
    賴小姐
    來自: 銘傳大學
  • 委託旺登統計公司博士老師設計代碼,需要依據IBM ILOG CPLEX軟體設計代碼,結果非常吻合要求。對旺登統計公司博士老師高水準的程式代碼設計及輔導表示讚賞。
    陳小姐
    來自: 臺北
  • 碰到論文問卷統計分析難點,一直束手無策。看到旺登統計公司博士老師提供論文問卷統計分析協助,把問卷表、原始資料、分析要求發給博士老師,在老師的輔導和協助下,經過多次的輔導和修改,終於通過口試。感謝文華軒統計公司博士老師論文問卷資料統計分析協助,讓我克服統計分析的難點。
    盧小姐
    來自: 北京
  • 碰到博士論文問卷的統計分析難點,一直找不到頭緒;最後在奇摩網上看到旺登博士老師提供論文問卷統計分析協助,在博士老師的協助下,順利跑出結果,感謝旺登博士老師論文問卷統計分析協助服務,解決我的燃眉之急。
    李博士
    來自: 高雄
  • 在雅虎奇摩網上看到文華軒公司提供軟體設計協助服務,委託旺登博士老師開發一款客戶管理軟體,經過充分調試和代碼設計,滿足需求;感謝旺登博士老師軟體設計協助。
    陳先生
    來自: 新北
  • 有篇論文碰到很大的困難,不知道怎麼修改;在奇摩上看到旺登公司提供學術論文修改輔導服務,把要求和稿件發給博士老師,在老師的協助下,順利完成修改,解決了我一個難點。感謝旺登公司論文修改輔導服務。以後一定推薦旺登。
    孫先生
    來自: 新北
  • 論文問卷資料統計分析碰到困難,在網上看到旺登公司提供統計分析協助,把資料和問卷表發給博士老師,在老師的協助下,跑完統計分析;不只如此,博士老師還認真輔導,真是感謝有旺登統計公司博士老師的認真輔導和協助。
    李小姐
    來自: 新北
  • 論文程式設計一直沒有頭緒,不知道怎麼設計matlab程式代碼,在奇摩上看到旺登公司提供論文程式設計協助,在博士老師的協助下,完成代碼設計和調試,結果吻合要求。感謝旺登博士老師論文程式設計協助和輔導。
    陳先生
    來自: 臺北
  • 跑博士論文統計分析,因第一次實施時對於model內的各構面顯著性極差,究其原因可能在於廣發問卷時大家亂填,委託文華軒公司協助本人的問卷內容慎選應試物件並於回收問卷後可讓model內之各構面均能維持該有之顯著性。結果顯示比較理想,感謝旺登統計公司博士老師輔導與協助。
    高先生
    來自: 臺北
  • 委託旺登統計公司博士老師協助跑醫學資料分析,內外側1st~7th半月板的30度移動距離變化和60度移動距離變化,在博士老師的協助下,順利得到統計分析結果,結果吻合要求,非常感謝旺登統計公司博士老師的協助。
    陳先生
    來自: 醫院
  • 委託旺登公司進行大陸客的問卷調查協助,文華軒公司從問卷設計、問捲髮放、問卷統計及問卷調查報告撰寫一站式服務,讓人非常滿意,做出的分析結果非常符合要求,感謝旺登統計公司。
    楊小姐
    來自: 雄獅旅遊集團
  • 碰到論文問卷資料分析的難點,尋求幫助。在旺登博士老師的輔導和協助下,順利跑出結果。感謝旺登博士老師認真的協助和統計分析,讓我解決不少困難。
    陸小姐
    來自: 北京
  • 設計排程程式,需要用lingo類比,在旺登博士老師的協助下順利實現程式代碼設計,感謝博士老師的辛苦幫忙和輔導。
    游先生
    來自: 元智大學
  • 碰到verilog程式設計難點,不知道怎麼解決;在尋求旺登博士老師協助後,代碼順利實現設計並跑出結果,感謝有這麼好的老師提供協助和輔導。
    李先生
    來自: 台南
  • 碰到頭疼的fuzzy delphi問卷資料的統計分析,讓我束手無策。幸好看到旺登統計公司提供論文問卷統計分析協助服務,請博士協助和輔導,才解決這個問題。感謝旺登統計公司博士老師的用心輔導和幫忙。
    沈小姐
    來自: 新北
  • 碰到醫學跑統計,變數之多,讓人頭疼。在雅虎奇摩看到旺登統計公司博士老師提供醫學數據分析輔導。把數據和要求發給博士,在博士團的努力下,經過不斷調整,才跑出結果。非常感謝旺登統計公司的博士團老師,解決我一個難點。
    李小姐
    來自: 醫學院
  • 碰到一階及二階驗證性因素分析,有點頭疼。在雅虎奇摩上看到旺登統計公司博士老師提供一階及二階驗證性因素分析統計輔導,把數據和要求發給博士。在博士老師的認真協助下,順利跑出結果。感謝旺登統計公司專業的技術服務。
    韓老師
    來自: 臺中
  • 碰到論文PLS數據分析,有點難。在雅虎奇摩看到旺登統計公司提供PLS數據分析和統計分析輔導,把數據和要求發給博士。在博士老師的輔導下,順利跑出結果。對旺登統計公司高水準的輔導和代跑錶示感謝,解決我一大難點。
    吳博士
    來自: 台中
  • 博士論文碰到nvivo質性分析,有點束手無策,不是很懂。在雅虎上看到旺登統計公司博士老師提供nvivo質性分析及輔導,包括主要類屬編碼相似性聚類分析。把資料發給博士老師,在博士老師的輔導下,順利跑出結果,結果理想。感謝旺登統計公司博士老師認真協助。
    陳先生
    來自: 台北
2020-11-07 13:29:44 | 点击: | 關于量子引力的一些樸素的想法

其實我很想把這篇短文寫得通俗易懂些,但我又很不願意重複教科書上已有的內容。所以,我不得不假定讀者是懂得量子場論和廣義相對論的。至于弦論和圈引力,能有所瞭解當然最好。但即使你不是物理學專業人士,事實上你也會發現以下有些內容是可理解的。
我們知道,描述宏觀世界的廣義相對論和描述微觀世界的量子場論分別取得了巨大的成功,經受住了幾乎所有實驗的驗證。然而,在原理上二者是有根本分歧的:從量子場論的眼光看廣義相對論,我們說她是經典理論,而非量子理論;而從廣義相對論的角度看量子場論,我們說他是背景相關的,即定義在特定的時空背景上,通常選爲四維閔氏時空。愛因斯坦在叙述廣義相對論的基本原理時,其廣義協變原理事實上具有很强的哲學意味,而非實用主義者通常主張的張量協變性。對此合理的詮釋是背景無關性:即時空本身作爲動力學對象,同時扮演著舞臺和舞者的角色;而不是將其中一個特定的部分割裂出來作爲背景舞臺,剩餘的部分作爲舞者。從這兩種角度來看,要融合二者,似乎有兩條路:構造一種背景無關的量子場論;或者將廣義相對論表述成某種量子場論。前者將導致所謂的拓撲量子場論,而後者則由圈量子引力實現。事實上,拓撲量子場論恰好構成了圈量子引力的數學基礎。
需要說明一下,將廣義相對論表述成某種量子場論,幷非傳統意義上的對引力做微擾量子化。微擾量子化需要分離出特定的背景時空,因而是與背景無關性原理格格不入的。這樣做一個顯然的漏洞是,在給定時空附近做微擾量子化,永遠得不到黑洞。那麽,圈引力又是如何表述的呢?我們知道,量子場論的核心是費曼圖:只要我們知道怎麽計算費曼圖,就什麽都知道了。圈引力在本質上就是用一種特殊的費曼圖來生成任意的時空幾何。因爲在頂點處的守恒條件,這種費曼圖可以進一步分解成一些獨立的圈的組合,圈引力因而得名。可以做一個類比,來理解到圈表述的變換。對于大N情形下的SU(N)規範理論,伴隨表示可近似爲基礎表示與反基礎表示的直積。這時我們可以對規範場采取’t Hooft的雙綫規則,使得最終得到的費曼圖分解成一些獨立的圈的組合。將這裏的雙綫推廣到任意綫,就得到了一般情形下的圈表述。讀者可能會懷疑,光憑一個費曼圖,如何能生成任意的四維時空呢?事實上,的確不能。但我們能生成其邊界,即任意三維時空(我這裏偷偷地用時空而不是空間,在圈領域是有爭議的,但咱先不理會他們。)。然後我們說,對于廣義相對論來說,這就足够了(這一點幷不顯然)。而在三維世界,相關的數學結果告訴我們,只需要生成任意的三維拓撲流形就够了。這樣就容易了。三維世界中費曼圖的圈表述事實上是一個鏈環(即很多個紐結)。而對于任意的三維流形,我們可以在其中選一個特別的鏈環做某種特別的“手術”,最終得到三維球:從這個意義上說,任意三維流形都可以通過一個相應的鏈環生成。這就是圈引力的全部內容,只不過這個世界上再沒有另一個人會認同這種表述方式了。
遺憾的是,圈引力在得到這些結果之後就止步了:他們拼命抵制弦、超對稱和額外維,因爲找不到必然的物理動機去引入。所以我們回過頭來審視一下弦論。這裏有必要回顧一下弦論的誕生過程。首先是對偶猜想的提出(1968):强子散射過程中s道貢獻之和等價于t道貢獻之和,即交叉對稱性。之後是Veneziano振幅的橫空出世(1968):Veneziano利用Gamma函數構造出了滿足對偶猜想的振幅;緊接著(1969-71),Nambu, Nielsen 和Susskind 將Veneziano振幅解釋爲弦的散射振幅。對偶猜想最終被發現與强子實驗結果背離,弦論作爲强相互作用的候選理論宣告失敗。1973年,描述强相互作用的量子色動力學建立。1974年,Yoneya發現所有已知弦論包含無質量自旋爲2的粒子,具有引力子的某些性質。基于此,Schwarz和Scherk立即提議將弦論從强子理論提升爲(量子)引力理論。
我之所以長篇累牘地把這一段歷史重複一遍,是別有用心的。如果你的思維足够縝密,會發現這一歷史過程中有兩個巨大的漏洞:1、引力子的概念是基于對引力的微擾量子化,是背景相關的,從而是與廣義相對論基本原理相違背的。以一種不合理的量子化方案中出現的某個概念來作爲推廣理論的判據,是缺乏說服力的;2、既然弦論起因于對偶猜想,那麽,將她提升爲引力理論後,對偶猜想應體現在引力振幅(而不是弦振幅)中。換句話說,我們應該像檢驗强子散射的對偶猜想一樣,去檢驗引力的某種表述(而不是弦)是否滿足對偶猜想。
那麽,究竟有沒有什麽物理原因使我們必須從粒子理論跨越到弦理論呢?我想了很久,現在來看,我們至少有三個原因必須做這一推廣:
1. 個人認爲,至今未止弦論在物理學上最大的成就是對黑洞熵的解釋。黑洞熵的困難在于微觀基本自由度的認定,就好比物質熱力學中的原子,輻射熱力學中的量子。黑洞熵的伯肯斯坦-霍金熵公式告訴我們,微觀自由度數目是隨黑洞視界面積指數增長的。如同計算機科學中的P對NP問題,這給我們帶來了巨大的挑戰:粒子視角下的物理系統的自由度通常是幂次增長的。一個明顯的例子就是,在圈引力的當前框架下,只存在幂次增長的局域自由度而無法解釋黑洞熵(不過他們始終不願意承認這一點)。而弦態一個典型的行爲就是:給定量子數下內部態呈指數式增長。這是弦論能自然解釋黑洞熵的根本原因。然而,當前框架下的弦論幷沒能一般性地解决黑洞熵問題,其根源仍然在于背景相關性。所以你往往會看到,對于種種不同的黑洞,弦論往往需要選擇不同的背景構造,來得到準確的伯肯斯坦-霍金熵公式。這當然是不盡如人意的:對物質熱力學和輻射熱力學的推導都是普適的。由此得出的結論是,黑洞明白無誤地啓發我們從粒子向弦推廣,但我們需要以一種背景無關的方式去建立她。
2. 很有意思的是,第二個原因我認爲是引力中事實上體現了對偶猜想。這一點很不明顯,但在圈引力的發展過程中却有人提出來過,只不過幷未引起足够的重視。爲了說明這一點,除了之前對圈引力的概括之外,我們還需要一點離散幾何的基本知識。我們說,對于d維離散幾何,其基本要素是d-2維元胞和角欠。例如,顧老師講解的2維離散幾何就由各點上的離散度量以及角欠完全决定。在物理上,引力的離散描述主要由Regge 發展起來,所以被稱爲Regge 微積分。特別地,對于4維離散幾何,我們需要以面元爲基本元素去構建時空。前面提到,在廣義相對論的情形,我們只需要構建其三維邊界就可以了(再說一遍,這幷不顯然!)。亦即,我們需要用一些面元構建三維時空。注意到這與前面用費曼圖的表述是相容的。準確地說,是互爲(三維)龐加萊對偶:一個面元對偶于一條邊。請注意,我們需要把這些(經典)面元想像爲只有面積和法向的幾何對象:邊界是可有可無的。讓我們先用她們來構建最簡單的三維幾何體:四面體。我們知道三條邊可以確定一個三角形,六條邊可以確定一個四面體。不太爲人熟知的是,四個面(面積加法向)同樣可以確定一個四面體:這就是凸幾何中的閔可夫斯基定理,在顧老師的文章中也有提到。這還不太够:與費曼圖相應,我們需要的是量子的面元。此時只有面積是可觀測量,法向是不定的(試與量子力學中的角動量類比,這裏我偷懶跳過了一點內容~)。四個面積是無論如何確定不了一個四面體的。其對偶的費曼圖是一個四粒子相互作用,其作用方式也是不確定的:我們可以有s道、t道、u道。由于四面體四個面的地位是等同的,一個自然的猜測是其對偶費曼圖的不同道的貢獻是相同的:這就是對偶猜想。加上了這一限制之後,四面體可以由四個面積完全確定下來。類比于弦論的誕生,很自然地我們會猜測這種特殊的費曼圖是某種弦散射面退化而來。這兒最終會導出一個驚人的結論:正是這種退化過程誘導了愛因斯坦引力!如果你對文小剛老師的哲學觀念和相關工作有所瞭解,你反而會覺得這一結論是理所當然的。我這裏用的是退化(degenerate?)一詞,文老師和孔良喜歡用凝聚(condensate),而Kontsevish和Soibelman喜歡用坍縮(collapse)。(既然說到這裏,我們可以用凝聚的觀點多說一下對偶猜想的本質。不同道的等同性,其根本原因在于(三維)體態的唯一性。準確地說,是處于一個特別的真空態(凝聚相)中,這個態由所有可能的邊界(真空)態叠加形成。對這個態求迹,無論是從哪個方向去求,都會得到相同的結果,幷表現爲所有可能邊界(真空)態的貢獻之和。)
3. 第三個原因包含了一些哲學和美學上的考慮。量子引力作爲引力的微觀理論,除了黑洞之外,迫切需要解决的問題是宇宙學常數的來源和效應。同時,量子引力作爲量子力學的完備化,應該給出一個內蘊的量子框架;特別地,應該自然地導出普朗克常數。圈引力在一定意義上幾何化了宇宙學常數,把她定義爲刻畫紐結纏繞强度的一個參數(即所謂量子群的變形(量子化)參數);但普朗克常數仍是人爲引入的。而弦理論則更不樂觀,不但沿用了通常的量子力學和普朗克常數,絲毫不涉及宇宙學常數。近日來所謂的Swampland Conjecture又將弦論在解釋宇宙學常數上的困難重新曝光。如果我們認同圈引力對宇宙學常數的理解,將其弦化後可以很自然地將普朗克常數包容進來:紐結的纏繞需要一個參數來刻畫,刻畫弦的世界面之間的纏繞需要兩個參數。她們的不同組合分別給出宇宙學常數和普朗克參數。對該理論取相應的趨于零的極限,分別得到經典引力(帶宇宙學常數)和通常的量子力學。
我認爲,以上任何一個原因都啓發我們引入弦自由度,或者說對費曼圖、紐結加以弦化。不過,我們必須以一種背景無關的方式去定義,我們把這樣得到的理論稱爲全純-拓撲理論。這一理論在物理領域常常被稱爲6d (2,0) 超共形場論,而在相關的數學領域,則被稱爲X-理論。至于到底應該叫她場論還是弦論,在歷史上一直是有爭議的。當前的弦論學家們往往把這一神秘的理論視爲整個弦論系統中退耦出來的一個玩具模型,對此我持保留意見。我覺得,在某種意義上說,X-理論就已經足够了,至少對于引力而言。
那麽,這一理論究竟具有哪些性質呢?這下可難倒我了。首先,我本人對此還剛剛涉獵,可以說一無所知;而且我懷疑一個完整的數學定義其實幷未形成。所以,讓我們大致猜測一下這一理論應該具有的性質:
1. 這個理論在本質上仍然是一個弦論,或者說源自于某種弦論。因此,其世界面理論應該是一個兩維共形場論。但是我們知道,目前爲止只有有理共形場論才有嚴格的數學定義(在任意曲面上)。所以我們可以降低一點標準,我們要求其世界面理論的局域數據由一個頂點算子代數(或手征代數)給出;幷且,整個理論不再包含其他的局域數據。試回想不同情形下的黑洞熵的推導,最終都可以歸結到某個頂點算子代數(未經證實),因而這一限制是合理的。這就是這一理論“全純”的部分。
2. 正如圈引力中費曼圖/鏈環生成了時空幾何,這裏的世界面之間相互纏繞生成了一個體理論,幷且這個體理論在世界面之外是背景無關的,即只具有拓撲結構。綜合這兩方面的性質,Costello和Gukov等人采納全純-拓撲理論這一名稱來形象地描述她。
說到這裏,我又想起了Costello和Gaiotto最近的那篇文章,“Twisted Holography”,將某個特殊的(實六維)Calabi-Yau背景下的拓撲弦論對偶到一個特定的兩維手征代數。這當然與我們這裏的設想是相容的。一個顯然的結論是,這個體理論必然是六維的。我們來簡單解釋一下原因。想像一下,通過點與點之間的關係,我們最多可以探測,或者說分辨零到兩維(0+0+2)幾何;而通過綫與綫之間的關係,最多可以探測到四維(1+1+2)幾何。個人認爲,所有已知的物理實驗均未超出所謂的聯絡動力學,所以都是基于綫與綫之間的關係,因而無法探測到超出四維的額外維度(而幷非因爲她們的尺度很小!)。這或許正是我們自認爲生活在四維的根本原因。以此類推,通過面的相互關係可以生成六維(2+2+2)體世界。
(注:我這裏采用體理論而非時空理論,是因爲據Gukov等人的構造,這一六維理論描述了 多重M5膜的世界體。)
3. 最後我們來說說超對稱。我們知道,在費曼圖中,費米子圈需額外計入一個負號。在紐結的計算中,同樣的負號也將出現。當我們把費曼圖/紐結弦化後,會出現這樣一種情形:一個紐結通過世界面演化變成另一個紐結,統計性質發生了改變,但其他性質仍然不變。在數學上,我們引入一個同調指標來標記統計性質的改變,用物理語言來說,就是費米數。這就是所謂的Khovanov同調。物理上的做法比較笨,先引入超對稱,然後再借用Witten的拓撲扭曲操作使得超對稱算子標量化。這樣得到的拓撲理論物理上被稱爲Witten-型,而數學家則習慣稱之爲同調型。綜上,X-理論其拓撲層面是同調型的,在物理上可以借用超對稱使得其易于表達。特別地,當世界面退化爲鏈環時,費米數完全固定,超對稱“破缺”。
于是我們看到,一旦我們引入了弦自由度,額外維度和超對稱將自然而然地進入。從這可以看出,圈引力是如何地故步自封。
有了以上的大致輪廓,我們最後嘗試解釋一下Gukov 近年的一些思想(其中很多仍停留在猜想的層次),特別是他與Dedushenko,Putrov去年(2017)的那篇文章 “Vertex algebras and 4-manifold invariants”,以及他與Feigin今年(2018)的那篇文章“VOA[M_4]”。從物理的角度來說,這是對多年來的一系列物理工作,包括Nekrasov 2004年前後提出的BPS/CFT 對應,2009年前後的Alday-Gaiotto-Tachikawa對應,甚至Beem等人2013年前後的4d SCFT/2d chiral algebra對應,加以數學提煉和嚴格化的一次嘗試。從數學的角度來說,他們的工作聯繫了許多已知的數學結果,下面將一一提到。
爲了說明他們的工作,首先我們需要澄清前面的一個漏洞: 我們幷未說明X-理論是否是完全確定和唯一的。Gukov等人將其視爲整個弦論體系中多重五維膜的世界體理論,因而是唯一確定的。這樣一來,我們可以將這一理論在不同的四維流形上(拓撲)約化,得到不同的兩維超共形場論T[M_4]和相應的頂點算子代數VOA[M_4]。他們的猜測是,這裏的四維流形的拓撲結構與得到的頂點算子代數是一一對應的:可以用不同的頂點算子代數標記不同的四維流形,反過來也可以通過已知的四維流形的拓撲結構來構建相應的頂點算子代數。這一猜想將許多已知的數學結果聯繫在了一起,具體如下:
1. 我們知道,直白地說,Khovanov同調描述的是紐結隨著外在“時間”演化的行爲。Gukov等人將這推廣爲帶有任意嵌入曲面的任意四維流形,幷猜測相應的拓撲不變量由VOA[M_4]表示的特徵標給出。不過需要指出,如何從他們的工作中導出Khovanov同調,似乎仍不清楚。爲此,他們重新構造了一種更物理一些的紐結同調,直接跟Chern-Simons理論關聯,而不是像Khovanov同調直接與Jones多項式相關聯。
2. Gukov 等人的工作細化了4維流形瞬子模空間的結構,將其用頂點算子代數的模結構重新表述。例如,對瞬子模空間“計數”的Vafa-Witten配分函數由頂點算子代數相應表示的特徵標給出;將一類推廣的Seiberg-Witten不變量表述爲頂點算子代數的多點關聯函數,等等。可以期待,這最終或將導致Donaldson-Witten理論的純代數定義,幷帶來四維流形研究的復興。最近在Milnor的書中讀到Freedman關于四維拓撲流形的分類的工作,甚至覺得Gukov等人的工作在某種程度上與Freedman的工作是一脉相承的。讀者如果熟悉相關結果,或許也會有相同的感受。
事實上,John Baez很早就猜測Khovanov同調與Donaldson理論有某種密切的關係。Gukov等人的工作有望使這中間的關係更早浮于水面。
就先寫到這裏吧。我很懷疑,會真的有人讀到這裏麽?
 

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