我們幾乎每天都要在不同的地點間移動：從家去單位上班，或者去另一個城市旅行，甚至移民到另一個國家。每個人在選擇目的地時的想法都是不一樣的，但在群體層面上卻會湧現出類似萬有引力定律的規律——兩地間的移動量會正比於兩地“活力”（常用人口數量、進出流動量、GDP等來量化）的乘積，反比於兩地間距離的某次方。這種交通系統中群體出行的空間分佈規律早在1846年就在比利時的城市間鐵路客運出行中被發現[1]（見圖1）。在後續的一百多年中，研究者們在城市內的通勤出行、城市間的公路出行、機場間的航空出行、港口間的船舶運輸、國家間的商品貿易甚至人與人之間的線上社交、科研合作等大量人、物、資訊的流動現象中都發現存在著類似的引力定律[2]。類比引力定律建立的引力模型（國內也譯為重力模型）在許多領域也獲得了廣泛的應用。例如在交通科學中引力模型被用來預測地點間的交通出行量；在人口學中引力模型被用來預測地區間的人口遷移量；在經濟學中引力模型被用來預測地區間的商品貿易量。特別是在新型冠狀病毒全球蔓延之後，很多學者也使用引力模型來輔助新冠病毒傳播過程的建模。
在如此眾多的交通及社會系統中為何會有這樣普適的引力定律存在？這是一個困擾人類上百年的問題，也吸引了很多不同領域的學者對其追根溯源。半個多世紀前，統計物理領域的學者以交通出行問題為背景，提出了一種從最大熵原理解釋社會引力定律的方法[3]。其核心思想是在給定的地點出行發生、吸引量約束和出行總成本約束的條件下，最可能出現的結果是微觀狀態數量最多的出行分佈，即熵最大的分佈。但最大熵原理僅能給出系統最可能的宏觀分佈狀態，並未考慮系統中個體選擇出行目的地的微觀決策行為。而經濟學家則很早就開始用隨機效用理論來描述個體的選擇決策行為[4]。他們認為個體會以效用（簡單地，可以理解為收益減去成本）最大化為準則來選擇選項，同時假設個體對效用的理解存在某種隨機偏差，這樣建立起來的模型就可以預測個體選擇各選項的概率。如果將選項的效用設置為目的地活力和距離成本的函數，用隨機效用模型就可以導出引力模型。這就從個體選擇行為的角度為社會引力定律提供了一種新的解釋。但隨機效用模型只考慮了單一個體的選擇行為，缺乏對實際社會系統中普遍存在的個體之間相互作用的考慮。
從系統科學的視角我們知道，很多複雜系統整體上湧現出的宏觀特徵都是由個體之間的相互作用所導致的。而博弈論則是刻畫相互作用個體如何進行選擇決策的重要理論之一。交通系統中的目的地選擇決策問題可以被看作是多個參與者進行的目的地選擇博弈[5]，每個參與者在面對多個可供選擇的目的地時，總會選擇帶給自己效用最大的目的地。在實際的交通系統中，目的地帶給個體的效用多會隨選擇其人數的增加而下降（這在經濟學中被稱為邊際效用遞減）：路途上的擁堵會導致成本增加，而目的地的擁擠則會導致吸引力降低。當個體對目的地效用資訊完全理解並總是選擇使自己效用最大化的目的地時，從相同起點出行的個體所選擇的目的地就都會具有相等的邊際效用（這在經濟學中被稱為等邊際準則）。此時的個體們勢均力敵，沒有人能通過單方面改變選擇而增加自己的效用。這種目的地選擇博弈模型能夠體現個體相互作用對個體目的地選擇決策的影響，為社會引力定律提供了一種新的解釋。
當然，在實際的交通系統中，出行者是有限理性的，他們很難精確知道所有目的地的真實效用。如果出行者對所有目的地的效用都完全不知道，他們就只能純隨機地選擇目的地（見圖2中右側實線）。如果出行者想獲得更高的效用，就必須通過學習來獲取更多有關目的地效用的知識。而獲取這些知識所需資訊量的最自然度量就是負資訊熵，出行者需要付出的學習成本就等於負資訊熵乘以資訊價格。出行者會權衡自身能獲取的效用與付出的學習成本，來做出最佳選擇。有趣的是，此時博弈模型的目標函數與物理學中的亥姆霍茲自由能函數在數學形式上是一致的，因此該模型被稱為“自由效用”模型[6]。換句話說，出行目的地選擇系統可類比為一個包含若干子系統、與熱庫進行熱接觸的等溫等容熱力學系統——出行者的數量類比為粒子的數量，模型的效用函數類比為包含勢能的熱力學系統的內能，資訊價格類比為熱庫的溫度，資訊熵類比為熱力學系統的熵，學習成本類比為熱力學系統與熱庫之間交換的熱量，邊際效用則類比為子系統的化學勢。但這兩個系統的本質是不同的：熱力學系統遵循自由能最低原理使系統達到平衡狀態，在該狀態下所有子系統均具有相同的化學勢；而出行目的地選擇系統自由效用的最大化則是出行者遵循等邊際準則做出的最佳選擇策略所導致的結果。
上述自由效用模型既能反映出行者之間的相互作用，又能反映出行者的有限理性特徵。之前解釋社會引力定律的最大熵模型、隨機效用模型和目的地選擇博弈模型都是自由效用模型的特例。當資訊價格為零時，自由效用模型就退化為出行者完全理性的目的地選擇博弈模型（圖2中左側虛線）；在出行者之間的相互作用被忽略的情況下，自由效用模型就與經典的隨機效用模型（圖2中右側點線）具有相同的數學形式。但二者的假設是不同的：隨機效用模型假設個體對選項效用的認知偏差服從特定分佈；而自由效用模型則假設有限理性個體需付出額外的學習成本來認知選項的效用，這更符合實際。另外，在忽略出行者之間的相互作用時（就像忽略氣體分子間的相互作用一樣），自由效用模型的解與假設出行總成本固定的最大熵模型（圖2中右側點線）的解是一致的。但自由效用模型並不需固定出行總成本，因為出行者們付出的總成本是他們最終選擇的結果，而不是前提。總之，從相互作用的有限理性個體選擇行為角度建立的自由效用模型更符合實際，能為社會引力定律提供更合理的解釋，有助於我們深入理解交通出行、人口遷移、商品貿易、社會交往、資訊流通等群體流動規律背後的機制。
自由效用模型不僅能夠描繪交通系統中出行者的目的地選擇行為，還可以描繪出行者的出行方式選擇和路徑選擇行為[7]。實際中出行方式的效用會受到使用相同方式的出行者數量的影響，例如公車上的乘客人數的增加將降低公車乘客的舒適程度。相比與傳統出行方式劃分預測中使用的隨機效用模型，自由效用模型能更好地刻畫這種實際中存在相互作用的出行者們的出行方式選擇行為。此外，不考慮學習成本的自由效用模型與交通科學中預測出行者路徑選擇行為的用戶平衡分配模型[8]在數學形式上是一致的，而考慮學習成本的自由效用模型就是交通科學中的一種隨機用戶平衡分配模型[9]。總之，自由效用模型為建立描繪交通系統中出行選擇行為的統一框架提供了新的途徑。特別是在當前這個能反映人類移動行為的大數據日益豐富的時代，通過從這些大數據中挖掘個體群體出行選擇規律來合理設置自由效用模型中的各類效用函數，可以為定量分析處處充滿著出行者相互作用的複雜交通系統提供一套可選的工具。
自由效用模型不僅能夠刻畫交通系統中的出行選擇行為，還可以應用到很多存在選項選擇行為的社會系統中。例如，人口遷移是選地點做居住地，社會交往是選人做朋友，科研合作則是選研究者做合作夥伴等。在這些系統中，個體多會傾向於選擇活力相對高、距離相對近的選項。但往往選擇同一選項的人越多，該選項能帶來的效用就會越低。例如在商品貿易中競爭對手增加會導致商品價格下降，在科研合作中選擇某人的合作者增多會導致雙方的合作強度降低。而這些不同系統中的個體選擇行為，都能用自由效用模型來刻畫。總之，解釋社會引力定律的自由效用理論框架不僅有助於我們理解很多社會複雜系統中由有限理性個體相互作用而湧現出的群體選擇行為模式，對於更好地預測、引導甚至控制各種複雜社會系統中人的選擇行為，都具有潛在的應用價值。這也體現了系統科學的典型研究範式：從整體的角度探討、揭示各種複雜系統的共性規律，再把對某一種系統的研究方法提煉成普適性的分析手段，用於理解、預測、優化和調控更多具有共性規律的複雜系統。