丹尼爾·伯努利（ Daniel Bernoulli，1700－1782）
丹尼爾·伯努利（ Daniel Bernoulli，1700－1782）是18世紀著名的物理學家和數學家。他提出了令人信服的統計學論據，用以主張接種天花疫苗。他在概率論和微積分領域做出了重要貢獻，是提出統計學假設檢驗的第一人。同時，他將概率論應用於男女出生比例等實際問題。在流行病學與衛生統計學的發展歷程中，他如一位拾磚者，搬來不可或缺的基石。
丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli，1700－1782）於1700年2月出生於荷蘭格羅寧根。他的家族來自比利時安特衛普（Antwerp），是胡格諾派（hu-guenot） 教徒，在 1530 年宗教改革期間被西班牙壓迫政府驅逐，遂搬遷至瑞士巴塞爾經商。於是，丹尼爾便與巴塞爾這座城市及其大學建立了密切的聯繫。巴塞爾是一座歷史悠久的大學城，亦是早期印刷中心，備受許多文藝復興時期的作家青睞，如伊拉茲謨斯（Erasmus）和帕拉塞爾蘇斯（Paracelsus）。一度成為胡格諾派避難所的巴塞爾，發展到 17 世紀時，文化空前繁榮，學術氛圍濃厚。丹尼爾便是巴塞爾擁有三代赫赫有名數學家和物理學家的伯努利家族中一員。伯努利家族第一個著名的數學家是丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654－1705）。他自 1687 年起在巴塞爾擔任數學教授直至去世，對概率論和微積分有重大貢獻。雅各布·伯努利的弟弟，也就是丹尼爾的父親約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）也是微積分的早期開發者之一。約翰·伯努利的著作使他躋身於數學前沿領域，與戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨（ Gottfried Wilhelm Leibnitz） 和艾薩克·牛頓（Isaac Newton）在數學方面具有了同樣地位。牛頓於1727年去世後，約翰·伯努利許多重要著作和學術活動在歐洲學術領域起著推動作用。於丹尼爾而言，父輩們在數學等領域的非凡成就深刻影響著他的學術活動。丹尼爾是父親約翰·伯努利的次子，父親從未鼓勵他學習數學，但他饒有天資。11 歲時，年長5歲且才華橫溢的哥哥尼古拉斯·伯努利開始傳授他數學知識，丹尼爾對此興致勃勃。這時他父親卻希望他從事報酬更多的商業，把醫學作為第二選擇。
於是，13歲的丹尼爾被父親送至巴塞爾大學學習哲學和邏輯學，於 1715 年畢業，一年後獲得碩士學位。丹尼爾並沒有放棄學習數學的念頭，多次向父親爭取學習數學的機會。最終，父親答應私下教他數學，條件是丹尼爾要同意學習醫學。於是，丹尼爾先後赴巴塞爾、海德堡和斯特拉斯堡學醫，1721 年獲得解剖學和植物學博士學位。丹尼爾的博士論文“De respiratory atione”是當時呼吸生理學領域極好的綱要，闡述了呼吸力學理論。學醫路上，丹尼爾收穫頗豐，卻從未放棄初戀——數學，更是在1723－1724 年發表數學著作 exercise ationes quaedam Mathematicae。1725 年，25 歲的他和哥哥尼古拉斯·伯努利同時被任命為俄羅斯聖彼得堡的數學教授。8個月後，丹尼爾因哥哥不幸生病去世遭受不小的打擊，同時他厭倦了當地惡劣的環境。他將想回到巴塞爾的苦悶心情寫信告知父親後，父親為了安慰孤獨鬱悶的丹尼爾，安排他最得意的學生且年齡較丹尼爾小的萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）赴聖彼得堡與其共事。歐拉 1727 年到達聖彼得堡，成為丹尼爾最好的朋友和彼此堅定的支持者。1728 年起，丹尼爾和歐拉主導了撓性和彈性體力學領域的研究，推導出物體的平衡曲線。停留聖彼得堡的 8 年時光，尤其是與歐拉共事的那段歲月是丹尼爾學術的黃金時期。丹尼爾做出許多著名的發現，如定義一個系統的簡單節點和振盪頻率； 指出樂器弦的運動是由疊加在弦上的無限次諧波振動構成；創作關於概率和政治經濟學的著作；研究投資風險模型；對財富和效用進行區分，深刻影響了經濟理論和最佳證券投資理論。概率統計學方面，丹尼爾亦貢獻頗豐。他是第一個用系統微分方程推導出眾多公式的人，是第一個提出統計假設檢驗者之一。流體動力學方面，他首次論述了關於流體的重要基本性質，尤其是壓力、密度和速度之間的關係，提出水輪機、風車和水泵等抽水設備的原理，是流體動力學理論的里程碑。關於氣體動力學理論基礎部分，儘管未給出全部細節及確立方程，他卻早於範德華斯一個世紀得提到了狀態方程。流體動力學一詞本身便來源於他的著作《流體動力學》一書，今天常用的“伯努利定律”在《流體動力學》中雖未成形，但該定律的起源也歸因於這部巨著。毋庸置疑，“伯努利定理”是他對科學最重要的貢獻，至今仍是流體動力學和空氣動力學的一般原理，是飛機機翼設計等許多工程應用的基礎，構成了現代航空的基礎。雖然與歐拉合作具有明顯的優勢，但丹尼爾在聖彼得堡的時光並不快樂。1731 年，他申請巴塞爾的數學教授職位。可惜申請失敗，丹尼爾最終獲得巴塞爾大學植物學教授職位，回歸到了巴塞爾。1734 年，丹尼爾將科學思想用於天文學，申請了巴黎學院（ Paris A-cademy）一項特等獎。丹尼爾父親約翰·伯努利也參加了該獎項的角逐，最終父子倆成為該獎項的共同得主。遺憾的是，約翰不能忍受大眾將他與兒子視為平等地位，父子關係因此破裂。為此，丹尼爾十分痛心，並被禁止進入父親家門。無論這是否是導致丹尼爾對數學失去興趣的原因，亦或者是因為他在巴塞爾的學術地位並非數學，丹尼爾自此之後不再活躍於數學研究。離開聖彼得堡的丹尼爾一直保持著與歐拉的通信，兩人就振動系統等學術問題交換許多意見，歐拉運用他高超的分析技巧，將丹尼爾許多物理見解轉化成了嚴謹的數學形式。1737 年，巴黎學院設有航海主題獎項，研究內容為船錨的最佳形狀，丹尼爾再次與波萊尼（Poleni） 共同獲獎。
1738 年，丹尼爾的《流體動力學》一書在巴塞爾出版。1740 年，丹尼爾與歐拉因研究牛頓的潮汐理論而獲獎。由於植物學教授並非丹尼爾的心儀職位，1743 年他轉向教授生理學課程，學術狀態日趨漸佳。他關於磁性的論文在 1743 和 1746 年連續獲獎。1747 年他發明測定海上時間的方法；1750 年他被任命為物理學教授；1751 年他發表關於洋流的論文；1753 年他發表力對船隻影響的論文；1757 年他發表論文主張減少船隻在公海上的顛簸。丹尼爾在巴塞爾教授 26 年的物理學，開展了許多出色卓絕的物理講座，並在講座中演示實驗。根據實驗證據，他推測出許多多年後才得以證實的規律，如靜電學的庫侖定律等。在巴塞爾的歲月，丹尼爾傑出的科學成果僅在天文學和航海方面，就獲得 10 次巴黎學特等獎。他後期的作品包括了對統計學和概率的研究，如大數定律、極限定律等。他還建立了氣體和熱的動力學基礎理論，得出了壓力和運動隨著溫度升高而增加的結論。
丹尼爾站在了代數、函數、微分與積分學、流體力學、天文學和天體物理學等多領域的頂峰。同時，他將數學和物理學領域結合於自己的醫學研究之中，做出了不朽的貢獻。在巴塞爾教授生理學期間，他研究了心臟的工作原理，計算出了心輸出量，並致力於對肌肉收縮理論方面的研究。然而，流體動力學領域的具體成果仍需要包括他的學生在內的其他人應用於血液迴圈。同時，他將統計學知識應用於公共衛生事務，提出令人信服的統計學論據，在詹納推廣牛痘疫苗之前，主張接種人痘疫苗預防天花。最後，丹尼爾致力於概率與統計學研究，是第一個提出假設檢驗的學者之一，是極限定律的貢獻者。丹尼爾將概率論應用於實際問題，如天花疫苗接種的風險，男女出生相對比例的計算等。在流行病學這一幢由古及今無數能人巧匠構築起來的文明大廈下，丹尼爾·伯努利如一位拾磚的先行者！
1  天花疫苗接種的風險分析
天花病毒的自然傳播方式是呼吸道傳播。18世紀之前的幾個世紀裏，天花病死率一直呈上升趨勢，至 18 世紀達到頂峰。中國和印度流行這樣的做法：將天花病人的感染潰破處分泌物轉移到易感人群的皮膚中，以通過低病死率的輕度感染誘導終身免疫。1721 年，英國駐土耳其大使的妻子瑪麗·沃特利·蒙太古夫人（Lady Mary Wortley Montague）將這種方法從土耳其引入英國君士坦丁堡。人們普遍不了解這種方法，有人甚至曲解方法，並試圖接種麻疹、鼠疫和其他幾種動物性疾病如牛瘟、羊痘和傳染性牛胸膜肺炎等的感染分泌物來抵禦疾病。接種天花疫苗的做法自引入英國和法國以來，便爭論紛紛。討論這種方法利弊的文章數不勝數，其論點也開始得到統計推理的支持。18 世紀，在丹尼爾之前，已有很多作者在自己的論文中就這一論點展開研究。另一方面，當時西歐人普遍有了購買養老金的意識，養老金銷售中，任何延長預期壽命的研究都會對經濟產生直接影響。因此，對天花疫苗的研究具有了醫學與經濟學雙重效益。這時，丹尼爾開始嘗試計算，如果天花作為死亡原因被消滅，出生時預期壽命的增加情況。
丹尼爾受啟發於皮埃爾·路易斯·莫羅·德·毛珀修（Pierre Louis Moreau de Maupertius，1698－1759）和查爾斯·瑪麗·德·孔達明（Charles Marie dela Condamine，1701-1774）。孔達明已寫了幾份備忘錄來贊成在法國引進接種，在尚未發表的信件中，他向丹尼爾提供了天花發病率、病死率和接種安全性等數據。丹尼爾根據這些資料，從全新的視角分析了接種天花疫苗的利弊。在缺少潛在致命感染的情況下，不再局限於推導生命表。丹尼爾建立了一種模型分析方法，通過將感染力和病死率等與年齡相聯系，然後推導出新的更明確的公式。他將預期壽命的增加與病死率的加權平均值和易感人群的流行程度聯繫起來，構建了一種新的流行病學模型，能計算消除一類死因後任何年齡階段的預期增長壽命。在當時，丹尼爾關於易感人群的流行率公式並未引起注意，反而他處理競爭風險的方法在精算文獻中得到更多關注，比流行病學模型更廣為人知。丹尼爾流行病學模型的意義是不容忽視的，可以說是第一個隔間模型。他本人被認為是傳染病流行病學模型的創始人。
達朗貝爾（D’Alembert’s） 閱讀丹尼爾的論文後，不同意其觀點，並寫了長篇評論進行反駁，論述了接種疫苗造成死亡的“近期危險”（估計約為 1/300） 與最終死於天花的“遠期危險”之間的區別。達朗貝爾認為，將近期危險和遠期危險兩種情況下的預期壽命進行比較不合理。該反駁評論文章於 1760 年11 月提交英國皇家學會，於次年在文集中發表。丹尼爾看了達朗貝爾的論文後，倍感惱火。1765年 4月，丹尼爾對手稿進行了補充，回應達朗貝爾的批評。丹尼爾推導出地方病流行情況下易感人群的一個普遍適用公式，該公式包括出生時的預期壽命和感染力，適用於任意生存函數。不足之處是，丹尼爾依然無法解決感染率和病死率如何變化的問題。丹尼爾雖然意識到關於感染力和病死率恒定的假設不現實，但是由於手頭缺少數據估計這些參數，於是模型方程中便有了感染率與病死率恒定假設。1772年，一位名叫朗波特（Lambert）的學者使用《海牙》（The Hague）出版於1755－1769 年間 1455 例天花死亡病例及其年齡分佈的數據來進行估計分析，卻因缺乏死亡數據，故無法獲得感染力情況。故這方面的研究，很多學者雖提出不同假設，但均未能解決問題。達朗貝爾對丹尼爾的論文提出批評確有無理之處，但丹尼爾如果對達朗貝爾的論文給予關注，他會發現達朗貝爾對問題提出了另一角度的解決方案，即現在稱之為的非參數方法。非參數方法與丹尼爾的參數模型相反，但方法受用面更廣，並不局限於感染免疫性疾病。
丹尼爾另一項重要貢獻在於解釋了部分疫苗接種覆蓋率的意義。丹尼爾在這方面付出研究的動機之一是為了讓公眾相信，如果每個人都參與疫苗接種，對整個人群傳染病的控制是大有裨益的。站在今天的角度可知，保護措施的部分覆蓋可以降低未接種疫苗的人群的感染率。丹尼爾建立模型，研究了在假設感染力和病死率不變、疫苗接種 100% 有效的情況下，未接種疫苗的人群預期壽命和作為受保護人群的總人口預期壽命。結果顯示，將接種疫苗的比例作為接種覆蓋率時，當覆蓋率達到 80% 左右，這種感染就不會發生地方性流行。
2  概率論與人口統計
本質而言，概率是對隨機事件和現象的數學描述，它與傳統的確定性事件函數建模方法大有不同，其研究方法也不一致。在概率計算開始有了明確的形式時，數學家們開始考慮使用概率思想來整合不同的觀測結果。丹尼爾碩果累累的一生中，概率論是他做出的重大貢獻之一。雖然他的數學方法如今已不那麼重要，但他在道德期望等問題上的獨到見解使他在這門學科中佔有重要地位。特別是，關於極大似然法的回憶錄驚人地超前於他的時代。1738－1778 年，丹尼爾寫了七本概率回憶錄。回憶錄出版時，丹尼爾已 78 歲高齡。有據可考，他是在沒有參考前人著作的情況下，獨自構思了整部回憶錄的基本思想，事實上回憶錄可能寫得更早。回憶錄使用概率的思想方法，探討了人口統計（政治算術）和天文學等方面重要問題的解決辦法。1774年，年僅25 歲的皮埃爾·西蒙·拉普拉斯（ Pierre-Simon La-place，1749-1827）在文章中提及了丹尼爾和拉格朗日（ Lagrange）的手稿，拉普拉斯表達了對這兩位前輩崇高的敬意，認為他們重新喚起了他對該課題的興趣。
韋斯特加德（Westergaard）教授在《統計學史的貢獻》一書中指出了丹尼爾·伯努利對統計學理論的重要貢獻。書中寫道，丹尼爾是用連續法解決統計問題的第一人，首次引入了死亡的力量或強度這一概念。丹尼爾於1766年發表論文Essai d ＇unenouvelle analyse de la mortalite causee par la petite verole et les avantages de l＇inoculation pour la prevenir，首次將連續法應用於死亡率統計問題的解釋上。丹尼爾還建立概率論中第一個極限定律——伯努利大數定律，推導出德·莫伊夫（De Moivre，1667－1754）的極限定理，雖然很大程度上該定理歸功於德·莫伊夫。他通過男女性別出生概率的計算推廣了概率觀點，推出男性嬰兒誕生的概率公式，得出與德-拉普拉斯極限定理等價的結論。此外，丹尼爾推導出了正態分佈定律，並使用其作為他推論的起源。
在此之前，德·莫伊夫其實已經推導出相同公式，可見，在那個時代，統計學家之間普遍缺乏對前人的參考和溝通，呈百花齊放的景象。丹尼爾以自己的才學推導出正態分佈定律並應用其做出許多其他推論，不可否認地歸功於他本人非凡的天分與智慧。
丹尼爾在概率和數理統計學方面成就頗多。他第一個用系統微分方程推導出眾多公式，第一個提出統計假設檢驗，第一個提出“道德期望”和研究的隨機過程。他被認為是繼朗伯特之後，第二個引入極大似然原理的人。丹尼爾的貢獻一度被認為居拉普拉斯之上，尤其是在概率應用方面，可以與德·莫伊夫的影響力相媲美。
關於丹尼爾·伯努利還有一個非常著名的趣聞軼事。在一次旅途中，丹尼爾與同乘一輛火車的乘客聊天，談笑風生之餘，同行乘客問起丹尼爾的姓名。丹尼爾認真地說：“我叫丹尼爾·伯努利。”未想到此句一出，卻引來這位同伴的嘲笑戲謔：“如果你是丹尼爾·伯努利，那我還是艾薩克·牛頓呢！”丹尼爾聽聞此言，從未覺得是嘲諷，反覺得這是對他一生諸多領域研究的高度讚揚。丹尼爾·伯努利於1782年逝世，享年 82歲。長壽並且直到晚年依然清晰的頭腦與敏銳的思考力使他一生貢獻頗豐，在流行病學與衛生統計學領域更是做出了開創性貢獻。