每個高中學生，都要學習解析幾何課。這門課的內容古代可沒有，無論是古希臘，還是古東方。解析幾何是近代才有的課程。它的創立者是法國人笛卡爾（1596-1650）。他還是一位傑出的哲學家，指出了科學研究的演繹法，其哲學思想突破中世紀經院哲學的桎梏，為近代哲學開闢了道路，由此他也被稱為近代哲學的重要先驅。
體弱的天才思想家
勒內·笛卡爾（René Descartes，也譯作笛卡兒）1596年3月31號出生於圖爾南郊40公里的小鎮拉海鎮（La Haye），當時屬於都蘭行省（Touraine，又譯圖賴訥），今屬安得爾-盧瓦爾省。為了紀念這位著名的學者，小鎮在 1801 年改名為拉海-笛卡爾鎮，1967 年之後，人們更習慣稱之為笛卡爾鎮。笛卡爾故居是一座兩層帶閣樓的房屋，現已辟為紀念館，介紹這位大學者的一生。市政廳前還聳立著他的銅像。
笛卡爾出身于貴族家庭，父親是布列塔尼議會（設在雷恩）的議員，家庭很富有。母親產後不久就病死，小笛卡爾尚在繈褓之中就乾咳不止，在保姆細心照料下才活了過來，因此得名勒內，意為“復活”。他雖然身體孱弱，卻好奇心強，總是會提各種各樣的問題，什麼事都要究根問底。父親戲稱他是小小哲學家。
1604年，笛卡爾在年僅8歲時被送進了拉弗萊什教會學院（La Flèche，圖爾西北50公里）。這所學校由法王亨利四世創立，耶穌會管理，學習條件良好。笛卡爾在此學習拉丁文、文學、數學、科學和經院哲學，達8年之久。他博覽群書，對陳腐的經院哲學表示懷疑和厭惡。
由於笛卡爾自幼體弱，不能過多地運動，因而被特許不用遵守學院嚴格的作息時間。他不必每天早晨5點起床，可以在床上度過整個早晨的時光。這個每天利用清晨的時間進行思考和讀書的習慣伴隨了笛卡爾的一生。他曾對法國數學家帕斯卡講到，自己保持身體健康並取得豐碩成果的秘訣就是每天早上睡到自然醒。然而，正如我們之後看到的，這句話竟然一語成讖，成了笛卡爾命運的一個悲劇性預言。
1612年笛卡爾以模範生的成績畢業，又進入了普瓦捷學院（Poitiers，又譯普瓦提埃）求學。該校在圖爾西南90公里，是普瓦捷大學的前身，創辦於1431年。20歲時笛卡爾以律師的身份畢業。但很明顯，他從來沒有真正從事過任何法律方面的工作。
畢業後，笛卡爾決心走向社會，“去讀世界這本大書”。他來到巴黎，研究數學兩年。1618年22歲的笛卡爾決定走出國門，加入奧蘭治親王莫里斯的軍隊，充當文職人員，當時他們駐紮在荷蘭的布雷達。有一天，笛卡爾在大街上閒逛，突然看到路邊立著一塊牌子，上面寫著一道數學問題，原來是有獎競賽，正在徵集答案。笛卡爾請一位路人把這個問題從荷蘭語翻譯為拉丁語或法語。幾個小時之後，他就成功地解決了這個問題，這讓他真正認識到了自己在數學方面的天賦。而那位為他翻譯問題的路人不是別人，而是荷蘭數學家貝克曼（Isaac Beeckman，1588-1637），他和笛卡爾成了朋友，對笛卡爾的物理數學研究頗有影響。
當時的歐洲正在“三十年戰爭”（1618-1648）的痛苦中掙扎，戰火四起、處處烽煙，不同宗教派別和政治派系之間紛爭不休。但笛卡爾仍然利用戰鬥的間隙學習數學，正如他後來所說的：“全身心地沉溺於數學學習中。”
在德國巴伐利亞多瑙河畔的諾伊堡服役期間，笛卡爾的一次經歷徹底改變了他的一生。1619 年 11 月 10 日，為了躲避寒冷的天氣，他躲進了一個只有陶瓷爐取暖的小房間。在幾乎沒有其他事情可做的情況下，他整天都在冥想。日有所思夜有所夢。一天晚上，他連續做了三個生動的夢。其中一個夢向他啟示了打開自然的魔鑰。據說，這把魔鑰就是數學，他把自然世界看成是一個以數學為關鍵的單一系統。他想知道數學的確定性是否可以應用到其他知識領域。
1621年，笛卡爾退役了。在隨後的幾年裡，他曾到義大利等國遊歷，然後回到巴黎住了3年。即便在旅途中，笛卡爾也沒有放棄研究數學。很多人都鼓勵笛卡爾繼續他的研究，並將他的思想寫下來公開出版。
笛卡爾深知自己的思想與教會大相徑庭，易被視為異端，由於害怕受到教會的迫害，1628年笛卡爾賣掉家產，離開法國，移居荷蘭，時年32歲，他在荷蘭幾乎度過了整個餘生。他說：“我只要求安寧與平靜”。當時，荷蘭似乎能提供一個更安靜的思考環境。這個國家比歐洲其他任何地方都提供更大的言論自由。
在隨後的 20 年裡，笛卡爾埋頭研究與寫作，寫出了一本又一本不朽的著作。1633 年他寫就《論宇宙》，為太陽系的日心說辯護，為了避免教會的麻煩，他僅將主要部分於1637年出版，這就是他第一本關於科學基礎思考的傑作《科學中正確運用理性和追求真理的方法論》（簡稱《方法論》）。這本著作還有三個值得著重關注的附錄，分別是《幾何學》（Le Géométrie）、《氣象學》（Les Météores）、《光學》（La Dioptrique）。此書在萊頓發表，引起學術界的轟動。
緊接著，笛卡爾在1641年出版了一本《形而上學的沉思》（Méditations métaphysiques），詳細論述了其基本哲學思想。1644年又出版了一本《哲學原理》，該書以"知識樹"為喻構建哲學體系，將形而上學作為根基、物理學為樹幹、具體科學為分支，綜合呈現了笛卡爾的理性主義方法論和自然哲學解釋框架。1649年，他最後發表了心理學著作《論靈魂的感情》（Passion of the Soul）。
在出版這幾本書以後，笛卡爾的大名傳遍整個歐洲，1649年，笛卡爾被邀請訪問瑞典，為瑞典女王克莉絲蒂娜（1626—1689）講授哲學。女王甚至專程派來軍艦到荷蘭接人。盛情難卻啊，笛卡爾接受了邀請，來到斯德哥爾摩。
不幸的是，王后是個早起的人，這與笛卡爾相反，那位年僅23歲的女王堅持要求笛卡爾在早晨5點給她上課，每週三次。在北歐這片土地上，清晨實在太過寒冷了。笛卡爾在給朋友的信中寫到，在這裡甚至連思維也被凍僵了。後來事實證明，這種寒冷對他是致命的。在面對瑞典長達數月的嚴酷寒冬和黑暗的早晨之後，笛卡爾得了急性肺炎，於 1650 年 2 月 11 日淩晨4點鐘溘然長逝，終年才54歲。這位開闢了現代文明的人，成了一位年輕女王任性的犧牲品。幾經輾轉，他的墓地最終設在巴黎聖日爾曼德佩教堂（Abbaye de Saint-Germain-des-Prés）。墓碑上鐫刻著“笛卡爾，歐洲文藝復興以來，第一個為人類爭取並保證理性權利的人”。
結合幾何與代數，創立解析幾何
儘管笛卡爾的哲學為人稱道，但真正讓他獲得不朽聲望的還是他在數學上的成就。
笛卡爾深刻地瞭解幾何學和代數學各自的缺陷，認為希臘人的幾何過於抽象，而且過多地依賴圖形；而從東方傳入的代數受法則和公式的控制，他想找出一個把二者結合的方法，這就是解析幾何學。
首要的問題，怎麼樣用數字來表示幾何上的一個點呢？相傳有一天，笛卡爾生病臥床，望著天花板出神。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，正忙著織網。又順著蛛絲爬上爬下，左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看作一個點。它在屋子裡可以上，下，左，右運動，能不能把蜘蛛的每一個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子裡相鄰的兩面牆與地面交出了三條線，如果把地面上的牆角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那麼空間中任意一點的位置就可以在這三根數軸上找到有順序的三個數。反過來，任意給一組三個有順序的數也可以在空間中找到一點P與之對應。這就是坐標系的雛形。
為簡便起見，我們只討論平面。我們把水平線標記為“ x軸”，把垂直線標記為“y軸”，這兩條線相交的點被稱為“原點”。 為了紀念笛卡爾，這種以兩條相交直線組成的參考系（平面直角坐標系）被命名為“笛卡爾坐標系”。